THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉR

sËrnnTions.

On appelle série une suite illimitée de termes qui se I formi-nt et se suivent d'après une loi détermiDée. On I appelle encore les séries suites infinies.

Une série est dite convergente si la somme de ses n premiers termes tend vers une limite déterminée, lorsque n ■«augmente indétinimenl, en suivant du reste une loi quel- 1 conque; cette limite est ce que l'on appelle la valeur de \ la série ou la somme de ses termes ( ' 1.

e série qui n'est pas convergente est appelée divertie. La série

(dans laquelle ix„ désigne i

li«ro, 1d

ique R au£;mente indéfini

I car la somme des f quantité a pour li

umbre qui a pour limite nt, est convergente,

i n premiers ternies est «g ■ nite c, pour n := oo .

(■) Quoi oil l'iDirenlËur da la Ihé I BelU ■ tranchsri Aruhiinède ■ lamii M. ffillii. LeibniB, Mercitnr. Mi La0raiise, de., ont momme bien iIdi qU6nl en geairal de riQUnuri Abel i)nl (ifnl niMinné jiiila dan* celle du Ualhémalijuti de Hontucla.)

C«I iiiiB qutniion dîr-

Dt géomélriquot, NaM- ;, Ici Burnoulli, Bul«r.

8 riLklTK 0 ALGUHRI!.

Au contraire, la série

est ilivergente, car la somme de ses n premiers termes est alternativement zéro et i; elle ne tend par conséquent pas vers une limite déterminée lorsque n croît d'une manière quelconque.

On comprend difficilement comment d'illustres analystes ont pu écrire des formules telles que

(Leibïïitz, Lettre à Christian Woljj. — Ecler, Instilutiones Calcuti diflerentialis et integralis. Pars posierior, Cap.l, etc.).

Une séi'ie divergente ne ssiurail représenter - En effet,

quelle idée peut-oo se faire d'une somme composée d'un nombre illimité de parties? En toute rigueur, on n'a pas même le droit d'écrire

lorsque «„ tend vers zéro, c'est-.i-dîre lorsque la série est converg'enle. On le fait cependant, mais seulement en vertu d'une convention qui consiste à séparer une série convergente de la limite vers laqucUe tend la somme de ses termes par le signe ^. Ainsi la formule (t) est une manière abrégée d'écrire

La formule (A) est donc complétcnicnl absurde, puisque la limite de la somme de ses n premiers termes n'existe '

pas : elle n'est donc pas égale

CHAPiTnE V. 89

Si nous însislons sur ce point, c'est que malheureusement OD trouve dans d'excellents auteurs, parmi les princes de la Science, des fautes analogues à celle dont nous venons de parler. Ahel s'en plaint amèrement dans One de ses Lettres à Hoiraboë (voir OEuvres coin/ilètes).

S?R LA COmrERGEKCG.

Théorème I. — Pour qu'une série soit convergente, il faut que ses termes diminuent indéfiniment.

En eOet, soit la série

, Uj, ..., K,„ .,

e des n prcmic

et en général £„ la

Si l'on suppose la série proposée convergente cl si l'on ciésigne sa valeur par s, on aura

4onc

limj„+| — lira ï, = lim (*,<., — s,,] =0,

c'est-à-dire, en vertu de l'équation (1),

BEHàiiQUE I. — La démonstration que nous venons d'employer, comme du reste toutes celles que nous emploierons dans l'exposition de ces principes, est basée sur le calcul des limites; elle précise le sens que nous devons attribuer à la locution diminuer indéfiniment. Quand nous disons que u„ doit diminuer indéûniment, nous devons

QO TRAITÉ D'ALGEDRB.

entendre par là que cette quantité, réelle ou imaginaire, doit avoir zéro pour limite, rien de plus : ainsi Un peut tendre comme on veut vers zéro ; il n'est nullement nécessaire, par exemple, que Ton ait

Remarque II. — On aurait également pu écrire les équations suivantes,

lim s„^p = j,

lim Sf^ =1 Sy d'où, retranchant la deuxième de la première,

lim (Un -h Un+i -H «/i+i -H . . . + Un^p-i) = O,

résultat que nous énoncerons ainsi :

Pour qu'une série soit convergente, il faut que la somme des p termes qui suivent le n'^'"^ diminue indéfi^ niment quand n augmente indéfiniment, quel que soit du reste p.

Remarque III. — Il existe des séries dans lesquelles u„ peut tendre vers zéro sans que la série à laquelle appartient ce terme soit convergente; par exemple, considérons la série suivante, appelée série harmonique :

iH l-:r-h7--f-^4-...H 1 1

Il est facile de s'assurer que cette série est divergente, car, si Ton prend n termes après le /z**"®, la somme

est plus grande que — répété n fois, c'est-à-dire que -• Si

donc on groupe les termes de la série harmoniqui qo'il suit,

V'^il

on voit que la somme de ses an premiers termes est plus grande que - répété autant de fois que l'on veut, en prenant n sufEsamment grand. La somme de ces in premiers termes croit donc au delà de toute limite; donc la sërie est divergente. c. o. r. n.

Il arrive souvent que l'on rend une série convergente I par un simple changement des signes de quelques-uns de i termes. Ainsi la série

est convergente. En général :

TstoitÈHe II- — 51 dans une s(-iie les rptmes sont, à W partir de l'un d'eux, indéfiniment décroissants et allet- Ii Itafioemfi/it positifs et négatifs, cette série est conver- ^MeiUe.

En effet, considérons la série

DidaDS laquelle les termes sont indéfiniment décroissants et 1 kltemativement positifs et négatifs à partir de u„.

Appelons en général S» la somme des m premiers ^mes de la série. Si nous remarquons que les termes

t)3 • TOAnÈ d'alcebbe.

vont constamment en diminuant, les quantités

seront toiilcs posilivcâ, et, par conséquent,

Les quanlitcs — u„+i + ««+3, ■ ■ ■ . ^ iin+\p-i + seront toutes négatives, et, par suite,

Or

Donc S,;^3p est plus grand que S„+jj,|. et, à cause de la suite d'inégalités (1), plus grand que S„^,. Ainsi donc une somme quelconque comprise dans la suite S„+a, S„^.,, S/i+Of ■ ■ ■ est plus grande que Su^., ; il en résulte que ces sommes, allant constamnient en décroissant et restant supérieures à S„^,, qui est fixe, ont une limite S. Or on a

Faisons croître p indéfiniment ; le premier membre de cette équation a pour limite S, car u„+.;p+i a pour limite zéro; donc S„+2p4.i a pour limite S également; donc, de quelque manière que croisse l'enlier m, S^ a une limite, ce qui revient à dire que la série proposée est convergente.

ConoLLÀiKE. — On voit que, la valeur de la série étant comprise entre S, et S«+| , l'erreur commise en prenant S^ pour valeur de la série est moindre en valeur absolue que

Tbéobéme III. — Quand une série à termes positifs a ses termes respectivement plus petits yue ceux d'une autre