CHAPITRE V

série également à termes positifs et de plus convergente, la première série est aussi convergente.

Soient, en eflet,

la série convergente donnée (on représente ordinairement une série convergente en séparant la somme d*un certain nombre de termes de sa valeur par le signe =, on supprime le mot lim) et

{1) t'y -h i', 4- Pj 4- . . . -+- f,, -h . . .

la série proposée. Soit 5,} la somme des n premiers termes de la série (i), f« la somme des n premiers termes de la

série (a) ; comme i^o <C "o> ^i <C '^1 > • • • 1 ^'/i <C "«^ ^^ ^ ^^i" dcmment

donc, a fortiori.

Or, n croissant. In croît, mais t,t reste constamment inférieur à 5; donc, en vertu duri principe déjà invoqué, la a une limite; la série (2) est convergente.

Théorème IV. — Une série à termes positifs et négatifs est convergente lorsque la série des valeurs absolues de ses termes est convergente.

En effet, considérons à part les séries des termes positifs et des termes négatifs pris dans Tordre dans lequel ils se succèdent dans la série proposée.

Soient

( I ) ^y -r ^/i -f- ^-l* 4- . . 4- rt', 4- . . .

la série des termes positifs et

(2) io-+-*i + ---+'U-t---

celle des termes négatifs pris chacun en valeur absolue.

Soient xi la somme des t premiers termes de la série (1), j'^ia somme des k premiers termes de la série (a), et r„ la somme des n premiers termes de la série proposée. Nous pouvons toujours supposer que a„, a,,. . ., ai soient les termes positifs de Jn, et io. ^h- • ■> ^* les termes négatifs; alors on a, en appelant s'„ la somme des n premiers termes de la série proposée rendus positifs,

(3) i„ = jr/-l-7i,

L'équalioD (3) montre que s'„ est plus grand que x/ et que y/,; donc, a fortiori, la limite de .('„, qui par hypoilièse existe, est supérieure à :c/ et à j-*. Or x, et^* sont des nombres croissant avec ( et A, mais constamment inférieurs à la limite de .»'„; donc ils ont une limite chacun; donc les séries (i) et (a) sont convergentes. L'équation (4) montre que Sa a une limite égale à la différence des limites de X, et j'*, c'est-à-dire que la série proposée est convergente et a une valeur égale à la différence des valeurs des séries de ses termes positifs et de ses termes négatifs.

TBËOBkMB V. — Quand une série ne perd pas sa convergence lorsque l'on rend tous ses termes positifs, on peut, sans altérer sa valeur, inlervertir l'ordre de ses termes.

En effet, considère termes positifs :

i d'abord une série convergente à

taUrvertissons l'ordre de ses termes, ei soit

U nouvelle série obtenue après ce changemeot. Soient .('„ la somme des n premiers termes de la série (2), s„ la somme des m premiers termes de la série proposée ; on pourra toujours choisir m de telle sorte que tous les termes dej', soient contenus dans les m premiers termes de la série (t). On aura alors

Nous voyons par là :

]' Que la série (a) est convergente, puisque /„ croît avec n sans dépasser s;

3° Que la valeur s'^iiins\ de la série (a) ne saurait I surpassera. Or on démontrerait de la même manière que t Is valeur s de la série (■} ne saurait surpasser s"; donc on 1 doit avoir

lidonc la série (i) n'a pas changé de valeur. Supposons actuellement la série

à termes quelconques.

Soient

|1r série de ses termes positifs pris dans le même ordre que 1 dans U série (1),

' u série de ses termes négatifs également pris dans l'ordre

où Us se trouvent dans l'équation (i). Supposons que la série (i) conserve sa convergence quand on rend ses termes positifs. Les séries (3) et (4) sont convergentes, et, si X etj- désignent les valeurs respectives de ces séries.

Cela posé, changeons l'ordre des termes de la série (i); la série de ses termes positifs sera encore la série (3), à l'ordre des termes près. Or, cette série est à termes positifs; donc elle conserve sa valeur. Même observation pour la série des termes négatifs et pour la série des valeurs absolues des termes de la série (i)- Il en résulte, d'après le théorème IV, que la valeur de la série (i) transformée est encore x — j'; donc la série (i) ne change pas de valeur quand on change l'ordre de ses termes.

RsMiLitQtiE. — Toute cette démonstration repose sur l'égalité (5); lors donc que x ou y n'cxisleront pas, c'està-dire quand dans la série proposée les termes positifs et négatifs ne formeront pas des séries convergentes, la démonstration précédente tombera en défaut. 11 est facile, du reste, de donner un exemple dans lequel on voit une série changer de valeur quand on change l'ordre de ses termes.

Considérons, par esemplc, la série convergente

Remarquons que la série des valeurs absolues de ses termes est identique avec la série harmonique qui est divergente.

Posons

et COD sidérons la série

ArrËtOQB-nous au terme — ; cette série, comme on voit,

renferme les mêmes termes que la série proposée ; leur ordre est différent, et l'on prend d'abord deux termes positifs, puis un terme négatif, puis deux termes positifs, puis un terme négatif, ... ; nous aurons

= fM-i

La quantité qui suity(n), composée de n termes, est évi- I demment plus grande que « X ■: ou que . Ou a

Si nous supposons que n devienne infini, le premier ' membre de celte inégalité ou la valeur de la série (a) dif- I férera de limy(n) ou de la valeur de la série (i) de plus I de -t; donc évidemment la série (a) a une valeur toute I différente de celle de la série (i).

Jusqu'ici nous n'avons guère parlé que de séries à termes t réels ; mais on fait un fréquent usage en Analyse de séries I à termes imaginaires.

Une série k termes imaginaires peut se mettre sous la

9^ TRAITÉ nULGâBRB.

forme

Cette série sera convergente si les deux séries

UQ-h Ui-^ Uf-^. . .-h Un

i'o -+- ♦'i -^ «'î -+-••. -+" ffi

formées des parties réelles et des coefficients de ^ — i dans tous ses termes, sont toutes deux convergentes.

En eflTety soit ^;i la somme des n premiers termes de la série (i), (7/< et z,t les sommes des n premiers termes des séries (2) et (3); on a

En passant aux limites et en désignant par a et t les valeurs des séries (a) et (3), on voit que

limj„= GT-h Tv/ — 1;

donc la série (i) est convergente. c. q. F. d.

Remarque. — Il est clair que, si Tune des séries (a) et (3) eût été divergente, la série (i) Teût été pareillement.

THÉOBkME VI. — Dans une série à termes imaginaires, si la série des modules des dijférents termes est conter'» gente, cette série est elle-même convergente et l'on peut, sans altérer sa convergence, intervertir l'ordre des termes.

En effet, considérons la série (i). Les séries de ses

termes réels et des coefTicients de \J — 1 sont convergentes indépendamment des signes de leurs termes, car ceux-ci sont respectivement plus petits que ceux de la série des modules qui est à termes positifs. On peut donc changer

l'ordre des termes de ces séries sans en allérer la valeur, ce qui revient à dire que l'on peut changer l'ordre des lennes de la série proposée elle-même. c. y, f. d.

nt.

. BÈ6LIS DE CORnSBEHCE.

On conoatt un grand nombre de règles permettant de reconnaître si une série donnée est convergente; mais un petit nombre de caractères suffisent dans la plupart des cas, et nous allons les faire counailre.

TaÉOBÈME 1. — Toute progression géomèiriifue dont la raison est un nombre réel ou imaginaire de module moindre que i est une série convergente.

En effet.

! telle progression peut se mellre !

Or.quelquesi I égale à

j premiers termes est

Si le module de jr est moindre que t, x"'*'' tend vers zéro, et la somme des n premiers termes tend vers la limite finie — pour n =: co, La série (i) est donc convergente, et I l'on a

f Si l'on remplace X par -.en supposant mod -tCI i, on a

lOO TRAITE D*ALQàBEE.

et. en' faisant a = -9

a — 3 a ce* a' a**^*

cette formule, qui nous sera utile plus tard, a lieu pour toutes les valeurs de z et de a telles que modz<^ moda.

Théorème IL — Si, dans une série à termes positifs

(1) i/j -f- tf, -4- . . . -4- tt« -4- ««+1 -h

le rapport -^^ d'un terme au précédent tend vers

une limite inférieure à l'unité ou reste constamment inférieur à un nombre cl fixe moindre que i, cette série est convergente.

Observons tout d*abord que, la limite de -^ étant

moindre que Tunité, -^ — finira, pour des valeurs suffisam-

ment grandes de /?, par différer ds sa limite de moins que

cette limite ne diffère de l'unîté, et par suite -^^ finira

par rester moindre qu'un nombre a fixe, moindre lui-même que Tunité ; ainsi nous n'avons besoin de démontrer le théorème que pour le cas où Ton a, pour n suffisamment grand,

^/ï-fi

De là on tire et de môme

Od lire de ces formules

La série considérée a dooc ses termes respecûvement moindres que les termes de la progression géométrique

dont la raison a est moindre que i et qui, par suite, est convergente ; la série proposée eUe-même est donc convergente.

ConoLLAiKE. — Si dans une série à termes quelconques la limite du rapport d'un terme au //recèdent a un module moindre que l'unité, ou si le rapport d'un terme au I précédent conserve un module moindre quun nombre ai fixe moindre que i, cette série est convergente.

Car la série formée des modules de ses termes est convergente, en vertu du théorème précédent (p. g6).

REHAnQuEl. — 51 le rapport -^ tendait vers une

limite supérieure à l' unité ou restait à partir d'un certain terme supérieur à l'unité, la série serait divergente, car les termes iraient en ausmentant.

Remarque 11. — Si la limite -^^ était l'unité. ^^

n'étant pas constamment supérieur à i, on ne pourrait plus rien affirmer relativement à la convergence de la série, cl il faudrait avoir recours à d'autres caractères pour décider si la série proposée est convergente ou divergente.

Reuaiiqub m, — Il est facile d'évaluer une limite de reiTcur commise quand pour calculer la valeur de la série (i) on se borne à faire la somme des n premiers

102 TBAITÉ d'algèbre.

termes. En effet, cette erreur est

or u„^i<C(xuny ttrt 2<^a2M;,, ..., d'après ce que Ton a va : donc l'erreur est moindre que la valeur de la progression

aUn-\- «•«»-!- «*"/,-!- . . .

OU que

TnÉORkHE m. — «Si ron a deux séries à termes positifs, Vune conçergente,

(i) j = iio-f-ai-Hfli-î- . . . -4- a» -t- <»«+i -*- . . .j

et Vautre,

telle que le rapport d'un terme au précédent, -4^» soit

constamment inférieur au rapport correspondant ""^* dans la première, cette dernière est conx^ergente.

On

En effet, la série (1) étant convergente, la suivante le sera aussi ( * ) :

^0 H «i H û, -f- . • . H On"^ ^/»4-l -*-•..•

C^) Si Ton éprouvait quelques doutes à cet égard, ils seront levés par le théorème II du parafjraphe suivant, théorème aui pourrait trouver sa place

CIIAPITBB V.

e tèrie peut s'écrire ainsi :

1(3) /■,+ /, ^ + i.^' ^ -+-... -f- /-„ ^ ^ ■ I liais la série (a) peut se mettre sous la forme

t cette série a, en vertu de notre hypothèse, ses termes I respectivement moindres que ceux de la série (3), qui I est convergente; donc la série (a) est elle-même conver- I génie. c. Q. F. n.

Il est facile de déduire de là le théorème précédent.

Tbéonèhe rV, — La série

lefC convergen'e ou divergente selon que h est plus grand ni plus petit que i ,

En effet, supposons d'abord h plus grand que i ; la série Lprécédenie peut s'écrire, en groupant les termes (ce qui In'all^re pas la convergence ou la divergence de la série, ftpaisqu'elle a ses termes positifs), de la manière suivante :

Si l'on suppose A>-i, le terme général de la nouvelle

série est moindre que -^ répété a" fois, c'est-à-dîre

loindre que -rrr— rri les termes de cette série sont donc

104 TRAITE D'ALCàBRE.

moindres que ceux de la progression géométrique décroissanté

elle est par conséquent convergente.

Si au contraire A*<^i, alors la série (a) a ses termes plus grands respectivement que ceux de la série harmonique ; elle est donc divergente dans ce cas.

Dans la série (i), le rapport d'un terme au précédent est de la forme

(/i-hi)*'/i^-

si k est plus grand que i, cette quantité est évidemment

moindre que t« Donc (*) :

Théorème V. — Si dans une série le rapport d^un terme au précédent, ayant pour limite Vunité, peut se

mettre sous la forme > et si n a. finit par rester plus

grand que i ou tend vers une limite k plus grande que 1 , cette série sera convergente.

Les règles de convergence que nous venons de donner suffisent dans la plupart des cas; nous donnerons dans les exercices quelques règles nouvelles, en laissant au lecteur le soin de les démontrer.

Applications. — i° Cherchons si la série

(*) Raabe et Duhamel l'ont trouvé à peu près en même lempi.

cnAPiTRB y. io5

est convergente. On a ici, pour l'expression du rapport d'un terme au précédent,

In -+-i)*-»-i /i'— I ^*

pour n = 00 , la limite de cette expression est x. Donc la série est convergente si modx<^i, divergente si modx>i; enfin, si moda: = i, elle est encore divergente, parce que les modules des termes ont pour limite i et par suite ne tendent pas vers zéro, a® Cherchons si la série

est convergente. Le rapport d'un terme au précédent a

pour expression générale :? dont la limite

est I . Cette expression peut s'écrire :

En multipliant -5 par ti, on obtient une quantité dont la

limite pour 71 = 00 est 2. Donc la série est convergente.

I?. — DES CALCULS QlUE L'OH PEUT EFFECTUER SUR LES SÉRIES.

Théorème I. — Si l'on considérée les séries convergentes

\j — Cq -j- C| -t~ ... ~T~ C/i ~r~ • • • 1

I06 TRAITE D'ALGÂBRE.

la séné dont le ternie général est

est convergente et a pour valeiw A ±: B db C db . . . . En eOety on a

Si Ton suppose que n augmente indéfiniment, on voit

que \^ ti a une limite égale à±AdtB±:C±:..., ce qui

démontre le théorème énoncé. Théouème II. — Si la série

est convergente et a pour valeur s,

oUq -h aui -♦-... -h au^ -h . . .

sera convergente et aura pour valeur as. En effet,

y {au)=ay u.

Donc, si n augmente indéfiniment, \] (au) a une limite égale à alim^ u ou k as, c. q. f. n.

Théorème III. — Si la série

5 zn if^ -h M, H- i/j -f- . . . 4- w^ -h . . .

est conifergente et a tous ses termes positifs, si de plus ao) ^o •••' ^/<7 •*• ^^^^ des nombres positifs qui ne