CHAPITRE T
croissent pas au delà de toute limite,
sera convergente.
En effet, en désignant par  un nombre plus grand que aty «2, . . ., a„, . . ., cette série a ses termes respectivement plus petits que ceux de la série convergente
A^ = A Mq -h A /«i H- . . . -h A M„ -4- . . . ,
qui est aussi à termes positifs. Âbel a démontré que le théorème précédent était encore vrai pour une série convergente quelconque si les nombres a^y ai, a^, . . . allaient constamment en décroissant; en efTet, dans cette hypothèse, en posant
(l) «o-f- Wi-f-...-f-«„=Jn»
on a les relations suivantes,
et par conséquent, en portant ces valeurs dans l'équation (a),
ce que Ton peut écrire ainsi :
Dans cette équation, les coefficients de5o, .^o • • • sont tous positifs, car ao, Ut, ... vont en décroissant; mais, si S désigne une moyenne entre les quantités So, Sif . . ., ^;i, on aura
I08 TRiUTÉ D* ALGEBRE.
Or, n augmentant indéfiniment, 6 conserve une valeur finie ; donc t„ conserve une valeur finie. Supposons alors 5o, Si, . . ., s„, ... positives (s^il n'en était pas ainsi, on augmenterait convenablement ixo)i t„ croît, en vertu de l'équation (3), avec n^ sans devenir infini; il a donc une limite; par suite, la série ( 2) est convergente.
Théouème IV. — Si les séries
( I ) 5 = //o -f- tt, -f- tt, -h . . . -f- «rt -♦- . • . ,
sont coni^ergenteSj la série dont le terme général est
est convergente et a pour valeur st dans certains cas que nous allons examiner»
1° Supposons d'abord les séries (i) et (a) à termes positifs; nous aurons
f^ X^ (\ Le terme
de ce produit dans lequel la somme des indices est la plus élevée est 2m. Si donc 2 m est au plus égal à n, tous les
termes de > w X ^ se trouvent compris dans X <^- On a donc
Op, en vertu de l'égalité (3),
Mais si l'on suppose que ni et n augmentent iudéfiniincnt, %" II 51 '' cl 2 « 51 '' ^^"'J''0"l '0"S deux vers st. Alors y IV, qui reste compris cooslammenl entre ces deux produits, tendra aussi vers la limite st. Le théorème qui nous occupe est donc démontré pour le cas où les séries (i) et (a) sont â termes positifs.
Supposons que les séries (i) et (a) ne perdent pas leur convergence quand on rend leurs termes positifs. Considérons d'abord les termes des séries (i) et (a) en
TlJeur absolue. Tout ce qui dans l'égalittî (3) suit ^ "'
pour limite zéro, car 51 " S '''^^^ ''' °"^ même limite, d'après ce que nous venons de voir tout à l'heure. Il en sera encore de même a fortiori quand on aura rendu aux termes des séries (i) et (a) leurs signes respectifs. Par conséquent, si dans l'égalité (3) nous supposons que r ;«ugmentc indéfiniment, il vient, en passant aux limites,
■ ce qui démontre que le théorème est encore applicable ins le cas oi'i les séries ne perdent pas leur convergence I quand on rend leurs termes positifs.
' Considérons enfin le cas oii les séries (i) et (a) sent à termes imaginaires. Nous supposerons les séries s modules de leurs termes convergentes, et nous pose-
1 10 TRiUTÉ D'àLGÉDRB.
rons en général
«» = />» (cosa/» + v/^sîn «a).
ÂlorSy en vertu de ce que nous avons démontré dans le premier cas, la différence
/^y ^-- y P1=PlQn-^Pt[qn-l'^qn)-^"'
aura pour limite zéro; il en sera de même a fortiori de la quantité
/?, (cosaj -h v'— I sinai)^„ (cosp,, + v^^sin?;,)
-h />, (cosa, + v/^ sinaj) [<|r;»«i (cos p«i 4- v^~ sin p„i )
-h7„(cosp„-f-v/^sinp^)]
qui n'est autre chose que M| 1^2 -H "2 (^/i-i -h ^'/î )-+-.... L'égalité (3), en passant aux limites, fournira donc encore
*^ = 5j *^î ^' '® théorème est encore vrai dans ce dernier cas.
RsMiiRQUE. — Ce dernier théorème et le théorème V de la page 92 montrent toute l'importance des séries dont les modules des divers termes forment une série convergente, puisque l'on peut effectuer sur ces séries des calculs analogues à ceux que l'on effectue sur des polynômes composés d'un nombre limité de termes. On a donné à ces séries le nom de séries absolument cotwergentes.
ClUPtTRE V.
T. — THÉOBÂHE D'ABEL.
LmuB. — St une série ordonnée par rapport aux puissances croissantes d'une même lettre x est convergente pour le module R de x, elle l'est encore pour tout module moindre- Si elle est divergente pour le module R de X, elle l'est encore pour un module plus grand.
En effet, considérons la série
i laquelle ag, n,, . . . . a„ sont constants; celte série étant convergente pour un certain niodnle R de x, les , modules de flo, a,R, . . ., auR" devront tendre vers zéro. £i l'on considère alors la progression
i est une siîrie convergente quand le module de x est
re que R. en multipliant ses termes par les nombres
nodctg, mod^'iR, modaiR^, ..., modi7„R'', qui ne
^croissent pas indériniraent (p. iij5), on obtient la série
Vcon verge n te
a convergence de cette série i
e celle de (1).
ConoLLiiRE. — Il FL^sultc de là qu'il existe un module R |Ae X tel, que pour tout module moindre la série {1} est lonvergente, pour tout module plus grand elle est diver- ; ce module s'appelle le rayon de convergence de ie. En représentant les imaginaires par des points, tonformément aux métliodes de Csuchj, on voit que la
série (i) est convergenle pour toutes les valeurs de x contenues à l'intérieur d*un cercle décrit de Torigine comme centre avec un rayon égal au rayon de convergence. Ce cercle est ce qu'on appelle le cercle de convergence de la série.
Une série
dont les divers termes sont fonctions de x est dite unifor^ mément convergente entre des limites donnétss de x (qui peut être réel ou imaginaire) si le module du reste
peut être pris moindre qu'une quantité donnée e pour une valeur convenable de n et rester moindre que e pour des valeurs plus grandes de /i, quel que soit x compris entre les limites données.
Théorème. — Si les fonctions cpo, Çi, . . . , Çw, • . . sont continues entre certaines limites données de x, et si entre ces limites la série
est uniformément convergente, sa valeur F(x) est une fonction continue de x entre ces limites.
En eflet, posons
//i(^) =?o(a?)-+-...-+-<pn(a7),
on aura
F(ar) = /„(ar)-f.R„(ar),
et en appelant h un accroissement infiniment petit
F{x -h h) =fn(3: -+- A) -+- R„(.r -h h),
