CHAPITRE V. Il

d'où

I F(a?-+-A)-F(^) = /«(rr-+.A)-/,(rr)

Or, si l'on suppose x et a: + A compris entre les limites données, on pourra prendre n assez grand pour que

(a) mod[R«(x-f.A)— R„(ar)]< -,

puisque la série est uniformément convergente. Enfiny)i(jî) étant continu, on pourra prendre h assez voisin de zéro pour que

(3) mod[/„(ar-hA)-/«(ar)]< ^

les formules (i), (a), (3) donnent alors en observant que le module d'une somme est moindre que la somme des modules de ses parties^

mod[F(a: -+- /i)— F(a7)] < E,

ce qui démontre la continuité de F(a:).

Théorème d'Abel. — Une série ordonnée par rapport aux puissances croissantes d'une même lettre j

dans laquelle «o, ^i, . . ., ^/i, . . ., sont indépendants de X, i" est uniformément com^ergente dans son cercle de convergence, 2° sa valeur est donc une fonction continue de X dans le même cercle.

En eflTct, soit