L. — Algèbre^ II

Il4 TRAITE d'ALGÂBRE.

soient pi* le module de a/, rie module de â?, R une quantité un peu plus petite que le rayon de convergence, on aura

mod On (a?) < p»4-i '*«-»-> -h p^+i r«+« -+-...,

mod©„(ar)< |^ Rn+l r«-»-l -+- £^±1 Rn^-l^n+l^.. ..,

et a fortiori en appelant M la plus grande des quantités p/R*

modtp„(a?)<Mn 0"^ -H f 0"*" -+-...J,

où la quantité entre crochets est la valeur d'une progression géométrique dont la raison est moindre que un, sa

valeur est (ô) __ > on peut prendre n tel que cette

R valeur soit moindre que tï et reste moindre que j^ quand n

croît; donc on peut rendre le reste ç«(^) moindre que e quel que soit x compris dans le cercle de convergence, ce qui démontre le théorème d'Abel.

Remarque très importante. — Deux séries ordonnées par rapport aux puissances de x et qui représentent la même fonction ont les mêmes coefficients ; en d^ autres termes y une même fonction ne peut pas^ pour les mêmes valeurs de a?, se développer de deux manières en série ^ ordonnée suivant les puissances croissantes de x.

En effet, si l'on avait

«0 4- «1 a? -h aj a?' -h . . . = 6o -+- 6i a: -i- ^j a?* -H . . . , on aurait, pour x =o,

ao = ^0 ;