CHAPITRE V. Il

divisant alors par j?, on obtiendrait régalité

«1 -+- a\X -I-,.. =6i-+-6ia?-+-...,

qui subsiste môme pour x = Oy car les deux membres de la formule précédente sont continus, en vertu du théorème d'Abel; on a donc a^ = bi, et ainsi de suite.

TL — LIMITE DE ( i + ^ j POUE m =co , m ÉTAHT ERIEB.

On a souvent besoin, en Analyse, de connaître la limite

vers laquelle tend ( iH — W quand m croît indéfiniment.

Pour trouver cette limite, nous nous appuierons sur le lemme suivant :

Lemhe. — &' «, (3, . . ., X sont des nombres positifs moindres que V unité et tels que a-f-j3-h...-»-X<^i, on aura

0 désignant un nombre compris entre o et i.

En effet,

d'où

(A) (,-«)(, -Pl>.-(a+|3).

Eln multipliant par i — y, on en déduit

oa, en vertu du théorème contenu dans la formule (A),

(,«;(,jS)(,y)>i(«H.pH.y).

Il6 TRAITÉ d'algèbre.

en multipliant par i — d, on trouvera de même

(i-«)(i-p)(i-7)(i-^)>»-(«-+-P + V + ^)' et ainsi de suite. On a donc

et, si 0 désigne un nombre convenablement choisi entre o et I , on peut écrire

(l — a) (i — P) . . . [l — XJ = 1 — 0(a 4- |3 -f-. . . -f- >).

I -H j . En supposant d'abord que m croisse en passant par des valeurs entières et positives, la formule du binôme donne (p. y)

IH-- =,-t-(- U.-J ! 4-...

ni (m — i)..(/72 — p -\- i) / x\P 1 .2.3. . ./y \'^/

ou bien

] \ m) \ mj 1.9.

'"i +(,!) (,£)...(,ez:;)^^,

^ \ ml \ m] \ m J i ,1.0. . .p

Supposons que m augmente au delà de toute limite ; si Ton remplaçait dans le second membre de cette formule (i) chaque terme par sa limite, on s'exposerait à trouver un résultat inexact, parce que la limite d'une somme n'est égale à la somme des limites de ses parties qu'autant que le nombre m de ces parties est fini (t. I, p. 117, ligne 11). Quoi qu'il en soit, je dis que le second membre de la for-