IH

ml I 1.2 1 . 2 . 3 . . . /w

(3 { i-hO,- -h 0,

Si Ton suppose m = 00 , la quantité écrite sur la première lifçnc du second membre de celte formule tend vers la valeur S de la série (2); quant à la quantité écrite à la

suite, elle se coiupose de deux facteurs, l'un — qui tend

vers zéro et l'aulre dont le module est inférieur à la valeui de la série convergente

Il R« R"

llB TRAITE D AtGBBnE.

<]ans laquelle R désigne le module de x. Cette quantité a donc pour limite zéro, et, par suite, la formule (3 ) devient, pour m ^ ao ,

(4) lim(, + i)"=S = ,+î + -^ + ... + j-£^-^....

Cette formule est démontrée en supposant que m tend vers l'infini en passant seulement par des valeurs entières et positives; nous allons prouver qu'elle a encore lieu quand m devient infini en passant par des valeurs quelconques.

TO. — UMITE DE 1 I + - 1 ■ ÉTtBli DU CU OO m EST ÛOEL- GOsaM. DfiTILOFFElIiaT DE e^, GALCUL DE e.

Supposons X réel et m positif; soit n un entier tel que n<Cm<^n + i. On aura, en supposant d'abord x'^o,

Or, « et n + I étant enlicrs, ( ' + - ) el. ( i H ^ j

ont pour limite la quantité appelée S au paragraphe précédent quand m ac 00 ou n = «o ; les facteurs iH — et

I H ont évidemment pour limite i.Donc f H J *

qui est compris entre deux quantités ayant pour limite S, a luî-môme pour limite S. La démonstration serait la même 81 l'on avait a: <[ o ; il faudrait seulement changer le sens des inégalités précédentes.

CHAPITBE y. 119

Si m était négatif, en le remplaçant par — n, on aurait alors

\ m/ \ n/ \n — xj \ n — x/

Or, la limite de f i h — —-— j pour n — jr = oo, c'est-àdire pour 71 = 00, est S, tandis que la limite de [ i h — — J

est I ; on a donc encore, dans le cas où m devient iniini en passant par des valeurs négatives,

(i) lim ( n — ) =S = n 1 h

Remarques. — Si dans cette formule (i) nous faisons j; =: I , nous aurons

lim ( n ) =n 1

On désigne par e le second membre de cette formule, ou sorte que

(2) lim(^i-h-j =e.

Ce nombre e est, comme on Ta vu, la base des logarithmes népériens; on peut, en posant m = -9 lui donner la forme

(3) ^ = lim(H-a)*,

que Ton a rencontrée (p. Sa).

lao TRAITé DALOâBBB.

On a

H'^^T=^^[{"^^yj''

(\ I -H - I > en vertu de (a) ou de (3), a pour limite

quand m ou — croît indéfiniment; on a donc

et par suite, en vertu de (i), la formule de Leibnitz

jr JC* x'*

Si dans cette formule on remplace x par zloga, elle donnera

La formule (4) peut servir au calcul de e*. Supposons que nous ne prenions que les /i -f- i premiers termes de cette formule; Terreur commise sera

si X est positif, cetie erreur sera inférieure à

ou à

J./H-1 /i -h I jt"

ou