I.2.û...(/l-l-l) /î-hl — Jr 1.2.0. ../î «-i-l — X

si Ton suppose x négatif, le premier terme négligé dans la série fera connaître une limite de l'erreur (p. go).

. t^BAPITRE V. lai

£n appliquant ces considérations au cas où x = i, on peut calculer le nombre e au moyen de la formule

e=rn 1 h. . .H •

On a, par exemple,

donc, en s'arrétant au treizième terme inclusivement , l'erreur commise sur le calcul de e sera moindre que

et Ton aura e avec huit chiffres exacts. On a trouvé

Le nombre e est incommensurable. En effet, si l'on pouvait avoir

p et (j désignant deux entiers, on en déduirait, en multipliant par 1 . 2.3. . .(/,

-MH h- : -+-....

Or cette égalité est absurde. En effet, le premier membre est entier; quant au second, il est évidemment fractionnaire, car

"4- . • • ^^ ~t" '. ri ~T~ . • • j

q-r-l (^-HOI^"^^) '7 + 1 (7-HO*

122 TBAITÉ D*ALGÀBRB.

c^estrà-dîre

oa bien

La formule (5) est donc absurde, et le nombre e incommensurable, c. Q. F. D.

TOI. — LIMITE DE f I -f- - — — — - j POUR m = oo .

8ÉBIE8 DE HEWTOH.

Soil

et proposons-nous de' trouver la limite de Z pour m = oo , X et y désignant deux nombres réels. Pour éviter toute ambiguïté dans la valeur de Z, nous supposerons que m ne passe que par des valeurs entières (ou que Ton prenne Z avec son plus petit argument}; on a

modZ= ( I H h

1 mx -\r 'T-

m* ~|aimx-t-x«-4-jr«

Quand m croît indéfiniment, la quantité entre crochets tend vers e (*), Texposant de cette quantité tend vers x; donc

(») En effet on a