CHAPITRE V. ia

on a

liininodZ = tf*.

Calculons Targument de Z. Soit op rargument de

celui de Z sera mcp (p. 69), et Ton aura

(1) âny=^ ' -^r^, tangyn^-^---.

\ / IH 1 p-

Or l'arc 9 a une tangente et un sinus très-petits; on peut le supposer très-petit, positif ou négatif, car son cosinus est très-voisin de -H i ; il est alors compris entre sa tangente et son sinus, dont on a les expressions (i). L'arc mcp, qui est Targument de Z, sera donc compris entre

CCS deux quantités ayant pour limite y quand on fait /7i= 00 , on en conclut que mcj> ou Targument de Z a pour limite j; donc enfin

(2) lim( iH j =:limZ = ^(cos7 ■♦"V"" ' sinj).

Mais on a trouvé (p. 1 15, 1. 4)

iH ) =l-h~-h-^ h...

et il est maniTcste que pour m = 00 cette quantité tend Tors zéro, de mémo

:— = X H • a pour limite x pour m=>cc.

mi TRAITÉ d'algâbre.

quel que soit x; donc

et par suite, en vertu de (a),

e*(^cosj -+- V — ' sm^j = i H ^^

Voici maintenant les conséquences importantes à tirer de cette formule. Si l'on y fait x =: o, on a

/ . rV — ' '> r'v/ — I

cos r -+- i/— I sm r = i h -^ r- -f- . . . ;

en égalant alors de part et d'autre les termes réels et les coefficients de ^ — i , on a

(4)cosr=i--^+ ^ +...± •^'" q:...,

formules remarquables dues à Newton et déduites d'un développement de arc sinjc par une méthode peu usitée aujourd'hui et dite du retour des suites; ce développement de arcsino: avait d'ailleurs été découvert par Newton luimême, ainsi que la méthode du retour des suites.

Les formules (3) et (4) peuvent servir au calcul des

Tahles de sinus et de cosinus natitrels; elles serviront à vérifier de lemps en lemps les résultats obtenus par la mOthode de Simpson. Mais elles seront surtout utiles pour calculer un sinus ou un cosinus quand on n'aura pas de Tables à sa disposition, car elles sont très-convergentes. Pour les appliquer à un arc de p secondes, on commencera par calculer la valeur y de cet arc en prenant le rayon du cercle trigonométriquc pour unité; on aura alors

•^ i«o.bo.tio' I ce serait une faute grossière que d'écrire

et que je signale pour l'avoir vu commettre trop souvent par les élèves.

n. — ftUELaOES MOTS aux les THAlISCEIlDAimS IHIODIAIBES. Reprenons la formule (3) du paragraphe précédent ;

Le second membre de celle formule ne diffère du développement de c^ que par le cbangenient de x en a" +) ^— i; il parait donc tout naturel de prendre ce second membre comme définition de l'exponenlielie e^JV^; alors, par I définition, on aura (p. i a i , 1. 5 )

k(s) r'+'V^=e«(eosj -t- ^/— I sin/).

n est très-facile de constater que les propriétés des exponentielles imaginaires sont les mêmes que celles des exponentielles réelles. Ainsi, je dis que Ton aura

en efTct, cette formule équivaut à

e^ (cos^ -+- ^ — I sinj) c'' (cosy -+- v^ — i sin^') = e'-^' [cos{x-^y) -+- v/^^sin (y -4-/)],

qui a lieu en vertu de la formule de Moivre.

La propriété fondamentale des exponentielles étant démontrée, les autres s^en déduisent (p. 4o).

Si dans (a) on fait x = o. on a

( 3 ) eW--* = ces r -f- ^ — i sin^*,

d'où Ton lire, en changeant j^ en — j,

(4) eryy/—^ == cosj — ^ — i sinj.

Des formules (3) et (4) on tire les suivantes, dues à Euler :

( 5 ) cosj = î sm^ = •

Ces deux formules, à leur tour, peuvent servir de définition aux fonctions cosj^ et sinj^ quand y est imaginaire, et,

quand on y remplace ey^^* et e""W-^ par leurs développements en série, on retrouve les formules (4) et (5) du paragraphe précédent, que Ton pourrait également prendre pour définitions des fonctions cosj^ et sinj^

Toutes les formules de la Trigonométrie se retrouvent avec la plus extrême facilité en partant des formules (5); en les ajoutant après les avoir élevées au carré, on trouve

cns'y-hsin^y=i. Les formules d'addition des arcs se retrouvent aussi facilement. Les fonctions tang^', col/, tiécjr, cosécj^ seront définies par les équations

sinv osr Vmsr=: -1 cotr^= 1 ■•■■

CDS^ ■ Slll^

n existe deux fonctions présentant avec le sinus et le cosinus la plus grande analogie : ce sont le cosinus et le sinns hyperboliques, délînîs par les relations

On vérifiera facilement cjue

ci>sA(* + J-) ^ cosA:c cos/jj -+- sinAi sinAj-, sinA(4^+j-] ^ sinAxcosiij- — cosAjainAj-, coa/i*,r — sinA'/^ i.

Maintenant posons

* sera ce que l'on appelle le logarithme népérien de x, et, comme l'on a, par définition, en appelant logr le logarithme népérien ordinaire du nombre positif r,

e''^'-"V=î=ei'><'(cos9 + v'~»inS) = r(cosfl-4- v'^sinS),

on voit que logr + ô^ — i est le logarithme de

Donc :

Le logarithme d' une imaginaire est égal au logarithme réel de son module, augmenté de l'un quelconque de tel

nS THilTE D ALGËBRE.

arguments mulliplié par \—î ; '/ a donc une irifinitê de valeurs différant entre elles d'un multiple de a ir \j — i . Le logarithme d'une quantité réelle et positive r, ou r(cosaA--i- \/ — i sinaAn), aura donc une infinité de yaleurs log/'-f- aAity' — i, Ainsi log i ^ aki:\/ — i; le logarithme de — rsera log^-|-(2A^- i)t^\/ — i , H va sans

dire que l'on a toujours, quand x et y sont imaginaires,

log* + lcigj' = logJ-^; mais il ne faut pas oublier que, logx conlenanl l'arbitraire ^/ît:^—-!, les deux membres de l'égalité prccédenle ne sont vraiment égaux qu'en choisissant convenablement les arguments dex,^- et xj.

Les fonctions arcsîn^, arccosjr, arc tan g jr, ... sont naturellement définies par les équations

sinj- := jr, cos^ =; x, t-^a^J' ^ ,c, .... (foirïa Trigonométrie de J.-A. Serrel.)

X. ~ DÉHÉKALISATIOIT DC LA FOBMIILE DD BtnOHE, HfSOLOTIOB DE ojl' -i-bx + c=o ftUAKD a EST TEÈS PETIT.

Nous ferons une dernière application de la théorie des séries à la généralisation de la formule du binôme.

La série

nim

[qui pour m entier et positif est limitée el a pour valeur (i + j")"'] est convergente quand on suppose le module de X moindre que i ; elle est divergente quand le module de X est supérieur à i .

CUAPITRB V. 129

En effet, le rapport d'un terme au précédent a pour expression générale x ; pour n = <» , il se réduit

à — X. Si donc le module de x est plus petit que i, la

série sera convergente; elle serait divergente si le module

de X était supérieur à l'unité.

Supposons donc modx <[ i et posons

m'itn — I ) . . A m' — /i -4- 1 1

Si nous multiplions ces formules membre à membre en observant la règle donnée p. 106, nous trouvons

, . ,. m -\-m' f/w -i- m'] [m-^-m — i ) ?Mî>^/n'j= IH — X -f. ^ '—- x« H- . . .,

'■ Vmm — \]...{m — w-i-i) m' m[m — \]..Am — n] 1

Soit, pour abréger, A le coefficient de ar" dans cette formule; A est un polvnôme entier du degré ti en m et tvl. Si l'on supposait m et 7/1' entiers, o(m)cj*(m') se réduirait à (i-f- J^)'""*''^', car ^{in) cl 'p(///') se réduiraient à (i-h-r)*" et à (i -f-x)'"'; le coefficient A serait donc égal au polynôme de degré n

que nous désignerons, pour abréger, par B. Les polynômes