RÉSOLUTION KT DISCUSSION
égal ô l'unilé, le produit des racines est égal au terme tout connu pris avec le signe qu'il a dans le premier membre de cette équation.
En conséopience , résoudre une équation du second degré revient à trouver deux nombres dont on connaît la somme et le produit.
Remarque. Les relations [1] et [2] dont on fait un frequent usage , résiütent directement de la méthode que nous avons employée pour résoudre l’équation générale du second degré , méthode qui a consisté à décomposer son premier membre en deux facteurs du premier degré par rapport à x.
En effet , nous avons trouvé que l’équation
[1] od^-\-px-\-q = Q
revenait identiquement à
après quoi , nous avons posé séparément les deux équations du premier degré
ces équations donnent respectivement
ou bien encore — x' = -f | — y
En conséquence, l’identité [2] peut s’écrire
(x — ic’') = 0
DES ÉOI ATIONS DC SECOND DEOEÉ. 271
OU , en effectuant le produit indiqué ,
On a donc idcnliqucincnl
[3] x*-\-px-\-q={x — x') (x — x") = x* — (x'-\-jf)x-{-x'x"z=o,
résultat qui met en évidence la composition des coefficients x’-{-x", et x’x^ de l'équation [1] au moyen des racines, ainsi que ce théorème important : Le premier membre d'une équation du second deqrc , ramenée à la forme x’ + px +q = 0, est le produit de deux facteurs binômes du premier degré en x , formés en soustrayant chaque racine de l'ineonnue.
Exemples. I. Dans l’équation x’ -|- 5-^ — 1 = 0 le produit des racines est — 1, et leur somme est — 5; en sorte que la résolution de l'équation proposée revient à ce problème ; la somme de deux nombres est — 5, leur produit est — 1, quels sont ces nombres f
II. Dans l’équation 13x’+5x — l=ü, le produit des racines est — et leur somme est — , parce que l’équation revient
à x*-{--f^x — t5=0, lorsqu’on dégage le premier terme de son coefficient.
Les racines d’une équation du second degré étant réelles, faire connaître les signes de ces racines sans résoudre l’équation.
257. Ixtrsque les racines de l’équation x’+px4-î=0 sont réelles ( ce dont on peut toujours s’assurer- en déterminant le
signe de ^ — q quand le dernier terme de l’équation est positif),
on peut distinguer le signe de ces racines à la simple inspection des signes des coefficients.
Soit, par exemple, l’équation 13x*-t-5x — 1 =0, dont les racines sont réelles ; leur produit est négatif , donc elles sont de signes contraires; par suite. Tune de ces racines est positive , et l'autre négative ; en outre, la somme de ces racines est négative; donc, en valeur absolue , la plus grande des deux est la racine négative. Dans l’équation 13x* — 6x — 1=0, la racine
nÉSOLCTlON ET DISCCSSION
positive a, au contraire, une valeur absolue plus grande que celle de la racine ncgalive.
Remarque. Il n’y. a pas lieu à discuter les signes des racines imaginaires puisque , par définition , ces racines ne sont ni positives ni négatives; ainsi, on commettrait une grave erreur si, sans un examen préalable de la réalité des racines, on disait de l’équation 13a:*— 5x 1 = 0 : le produit des racines est positif, leur somme est négative , donc les racines sont positives.
Délerminalion de deux nombres dont on connaît la somme et le produit.
258. Nous venons de reconnaître au n° 236 que résoudre une équation du second degré , c’est chercher deux nombres dont on connaît la somme et le produit : réeiproqucmen.t , chercher deux nombres connaissant leur somme et leur produit , est-ce résoudre une équation du second degré ?
Soient a: et y les deux nombres demandés ; —p leur somme ; cl g leur produit ; nous aurons :
multiplions [1] par x, [2J par — 1 ; ajôutons , et il viendra x'=z — px — q
ou [3] x’-j-px-l-y=0.
L'n calcul analogue pour éliminer x donne [4] . ytJ^pyJ^q — Q^
Ainsi, la recherche de chaque inconnue conduit à une équation ilu second degré, mais, chose remarquable, on obtient la même équation , soit que l’on élimine x, soit que l’on élimine y.
De la première on lire x = — d: — q ; de la seconde
on tire y=— 1± y. Voyons maintenant comment les
deux valeurs de x doivent être accouplées avec les deux valeurs de y ; la somme des deux nombres cherchés doit être égale à — P ; en conséquence, il faudra prendre
ce qui fournit une première solution du problème. On en obtient line seconde en accouplant la deuxième valeur de x avec la première valeur de y , ce qui donne
Or , ces deux solutions n’en font à proprement parler qu’une seule, puisque les deux inconnues de la première ont les mêmes valeurs que les inconnues de la seconde ; cette conclusion remarquable pouvait être prévue à la seule inspection des équations [1] et [2] ; en effet, ces équations restent les mêmes quand on y change x en y, et y en x; donc, si elles sont vérifiées par le couple de valeurs x = a et y = p , elles le seront aussi par le couple de valeurs x = p et y = a. De ces explications résulte que les valeurs des inconnues du problème proposé sont les racines de la même équation du second degré x* -\-px -)- y =0, que l’on peut former immédiatement, ce qui donne le moyen de calculer rapidement les valeurs de deux nombres dont on connaît la somme et le produit.
Exsuple. La somme de deux nombres est 7 , leur produit est 12. Quels sont ces nombres? Ces nombres, 3 et 4, sont les racines de l’équation x’ — 7x -|- 12=0.
Définition. On dit que une ou plusieurs équations sont symétriques par rapport aux inconnues, lorsque ces équations restent les mêmes quand on change ces inconnues les unes dans les autres.
Les équations [1] et [2] sont symétriques par rapport aux incomiues ; il en est de même des équations x-f-y =o et x*y*=è ;
274 KiSOLÜTIOS ET WSCÜSSIOR
x-\-y=at{a?-\-^—b\a*-\-y'=aei x* + ÿ*=ft, et ainside suite. Danschacuude ces exemples, les couples de valeurs sont en nombre pair et se réduisent de moxtié.
Rem.vbqüks. I. Les valeurs des inconnues dans le problème pré-
eédent sonta: = — 1 + ?, et y= général, ces valeurs ne sont pas égales, car, pour qu’on eût x=y, il faudrait avoir ix=—p elx‘ = q', par suite q = j, ce qui, en effet, est le cas des racines égales.
II. Le problème devient impossible, dès que q surpasse ^ ; la plus grande valeur de q , c'est-à-dire du produit donné , est donc^, auquel cas, les deux noml)res cherchés sont égaux à
— c’est-à-dire à la moitié de la somme donnée. En conséqucncc,
230. Pour partager une quantité donnas en deux parties dent le produit soit le pim grand possible , il faut la partager en deux parties égales. ( Nous reviendrons plus tard sur cette questi<m de maxitaum.)
Problème inverse de la résolution des équations du second degré, ou maaière . de composer une équation qui ait des racines données.
240. Exemple. Former une équation qui ait 3 et — 2 pour racines.
La somme des racines est 1 ; donc, le coefficient du second terme de l’équation cherchée est — 1 ; le produit des racines est — 6; donc le troisième terme de l’équation est — 6; d’ailleurs , le premier terme est x’ ; ainsi l’éqitation demandée est
Autrement. Le principe de la décomposition du premier membre en deux facteurs du premier degré, donne immétiiatement
ou x’— X — 6=0
DES ÉQUATIONS DU SECONb DEGRÉ.
Remarque. A défaut des deux méthodes précédentes , on peut procéder analytiquement, et d'une manière générale, ainsi qu’il suit :
Soient [1] x’+pÆ-f ? = 0
l’équation cherchée, et a, p les racines données; les inconnues du problème sont p et 9; mais la substitution des racines données dans l’équation [1] , donne
[2] a*-|-pa-|-g=0,
[3] P* + pP + 5t=0.
Four résoudi e ces deux équations à deux inconnues p et 9 , re>' tranchons-les membre à membre , et il viendra
d’où p=— (a+p);
par suite ? = “?•
b'équation cherchée est donc
a:’ — (a + p)« -f ap =0 ;
en sorte que si la composition des coeffldents de l’équation du second degré, ne nous était pas déjà connue, cette méthode nous l’apprendrait.
