Théorème. Si a est racine de l'équation

[11 x* + px+q=o

-son premier membre est divisible par x — a, e< réciproquement..

Démonstration. Le trinôme :c‘-\-px-Yq sera ou ne sera pas divisible par a: — a, suivant que la division de ces deux iHdynomes se fera ou lie se fera pas exactement; il est donc naturel d'essayer la division.

x*-\-px-\-q I X — g

— J* 4- ax I a? + o-}-p

{a-\-p)x-\-q — («4-p)x+o’+rtp

Itcslc

276 RÉsoLtrrios et discussion

Le reste de celle division n’est autre cliosc que le trinôme proposé dans lequel on remplace x par a; donc : 1° Si a est racine de l'équalion [t], ce reste est nul; la division réussit, et X — a est diviseur du premier membre de cette équation; 2“ si la division réussit, le reste a’-j-ap+ÿ est nul, par conséquent a est racine de l’équation proposée , ce qui démontre à la fois la directe et la réciproque.

Application. Supposons que 2 soit racine de l’équation X* — 5x-f 6=0;

j)Our trouver la seconde racine , il suffirait de diviser x* — 5x-)-6 par X — 2 et d'égaler le quotient à 0, ce qui conduirait à une équation du premier degré à une inconnue. Si la racine connue était — 2, il faudrait prendre pour diviseur x — ( — 2) oux-)-2. Toutefois, il serait plus simple de se rappeler que 5 est la somme des deux racines, ou que 6 est leur produit, ce qui ferait connaître immédiatement 1a seconde racine.

242. Remarque. On a vu dans les exercices du livre II , que si l’on divise par x — a le polynôme Ax" -j- Aix"~‘ -|- Aix*“*

+ AjX"-’+ +.\„iX-|- A*, le quotient est un polynôme

entier, et que le reste indépendant de x est Ao^ + Aio*"*

-l-A,a"-*+ +A*; or, ce reste n’csl autre que le polynôme

proposé dans lequel on substitue a à la place de x ; donc , si la quantité a jouit de la propriété de faire évanouir un polynôme de

la forme Ax" -|- A,x*“' -f AjX*-* -j- + , ce polynôme est

exactement divisible par x — a, et réciproquement.

Le tliéorèinc précédent , qui joue un rôle fondamental dans \'algèbre supérieure, permettrait d’établir les conditioDS de divisibilité de x^izo" par xdza.

245. Le théorème du n° 241 reproduit Irès-simplcmenl la composition des coefficients de l’équation du second degré.

En effet, quand la division réussit, on a identiquement

{x—aXx-{-a+p)=0,

ce qui donne 1* x — a=0, d'où x = o (racine déjà connue),

â" X -|-a-t-/)=0, d'oùx = — a — p.

Les deux racines sont donc a et — a — p; la somme de ces racines est — p; quant à leur produit, il est —a*—pa, quantité qui est égale à g, puisque le reste a* -1-po -f-y de la division précédente est égal à O par hypothèse.

244. D’après ce qui a été dit au n® 226 , l’équation générale du second degré ic’+pr-f y=0 a deux racines et n’en a que deux , puisque son premier membre est décomposablc en deux facteurs du premier degré en x, et que l’un de ces facteurs doit être égal à zéro , auquel cas la résolution de l’équation du second degré est ramenée à celle de deux équations du prm/er, qui donnent chacune une seule valeur pour l’inconnue. Ce principe est fondé, comme on le voit, sur la manière même de résoudre l’éijuation ; or, on peut se demander si l’on n’obtiendra que deux racines , quelle que soit la méthode qu’on pratiquera pour résoudre l’équation proposée. Pour répondre à cette question, procédons analytiquement; soient a, p, y trois racines de l’équation, cherchons les conséquences :

Puisque les quantités «, p, y sont chacune, par hypothèse, une racine de l’équation

Æ’ + pjJ + y = 0 nous aurons les trois identités

[1] a*+pa+y = 0

[3] Y*+py+y = 0.

Retranchant [2] de [1] , puis [3] de [1] , il vient •

[fl («— pX“-f*P+P)=0, .

[5] (a — yX«+T+P) = 0.

Cela posé , pour que le produit de deux facteure soit nul, il faut et il suffit que l’un des facteurs soit nul; on doit donc avoir pour satisfaire à l’égalité [4] a— p=o ou «+p-fp=0; et pour satisfaire à l’égalité [5], on doit avoir a — y = 0 ou a+Y-j-p=0; si l’on a a— P =0 on en conclut que a =p, auquel cas, sur les trois racines supposées, deux sont égales entre elles; on tire-