CHAPITRE III

RÉSOLUTION ET DISCUSSION DE L’EQUATION LA PLUS GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ àc*+ôa:-}-c:^0. ÉQUATIONS IRRATIONNELLES DU SECOND DEGRÉ.

SOHUAIRB.

24i>. Résolution de l'équation ox*-|-&a;-|-c = 0 déduite de l'équation a:*-f-p^ + 9 = 0. — 246. Résolution directe de l'équation précédente. — 247. Règle générale. — 248. Application. — 248. Décomposition du trinôme oa;*4-éa:+c en facteurs du premier degré. — 2it0. Théorèmes. — 261. Applications. — 262. Discussion de l'équation ax* -f- 6* 0 = 0 suivant que l'on a 6’ — 4nc>0, 6* — 4oc<0, 6* — 4ac = 0. — 263. ForoM du premier membre lorsque les racines sont imaginaires. Vérification des racines. — 264. Forme du premier ’ membre lorsque les racines sont égales. — 266. Condition nécessaire et suffisante pour qu'un trinôme de la forme ax*-|-&x-)-c soit le carré d'un binôme. — 266. Examen du cas où l'équation ne peut pas avoir de racines imaginaires. — 267. Cas particuliers. — 268. Des racines infinies de l'équation ox* -f- éx + c = 0. — Comment on exprime qu’une équation du second degré a une racine infinie. Comment on exprime qu'elle en a deux. Comment on exprime que le trinôme ax’-f-éx-j-o est nul quel que soit æ. — 268. Remarque sur l'artifice de calcul qui a

commun. Application. — 260. Tableau résumé. — 261. Des équations irrationnelles du second degré. Remarques.

Résolution de l'équation oz’ -f- hz -f e = 0.

34iî. La résolution de l’équation ÿ = 0 donne im- .

médiateincnt celle de l’équation la plus gÂiérale des équations du second degré :

[1] ax*-t-&r-f-c=0, ' , '

280 KÉSOLDTION ET DISCCSSION

puisque dans la formule

il suffit, d'après ce qui a été dit au n» 223, de remplacer/» par I > cl g par Voici le calcul :

b , /6* Aac

— b±\/b' — Aac

Résolution directe de l’équation précédoile.

246. Le raisonnement qui a été fait au n* 2i6 pour résoudre l’équation g=0 s’applique identiquement à

l'équation [1] ; ox* et bx pcu\cnt être regardés comme les deu.x premiers termes du carré d’un binôme. En effet , ox* est le carré de xy'o, et bx peut être considéré comme le produit de

2x\/â par un second terme qu’on obtiendra par conséquent en b

divisant bx par Ixyfa, ce qui donne pour compléter le carré du binôme, il faut ajouter le carré de ^ qui est , et

pour ne pas altérer l’équation on diminuera le premier membre de celte même quantité, en sorte qu’il viendra successivement :

DE l’Équation la plus générale du second degré. 281

par suile : 1® 2®

Chacune de ces équations du premier degré donne une racine et n’en donne qu’une , savoir :

par suite

— é + V'é’ — Aac 2a ’

— b — — 4ac

— b±^b' — \ac

résultat conforme à celui du n® 943.

En conséquence ,

247. Règle. Les racines d'une équation du second degré ^ ramenée à la forme ax*-l-bx + c = O, sont égales au coefficient de la première puissance de x pris en signe contraire, plus ou moins la racine carrée du carré de ce coefficient, moins quatre fois le produit du coefficient de \* par le terme tout connu; le tout divisé par le double du coefficient de x’.

Appliquons cette règle îi quelques-uns des exemples qui ont déjà été traités d’après la règle du n® 228, qui n’est plus qu’un cas particulier de celle du n® 247.