I. Si 0=0, les racines x’ et x' prennent la forme

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■ il.

■ T. . «’Tl

La question est donc de savoir ce que représente Quand on a séparé ainsi les signes du radical , on entend par y/é* la valeur arithmétique de cette quantité. Si b est positif, ^ a pour valeur absolue -j-ft; mais si b est négatif, y/^ a pour valeur absolue — b, car c’est alors — b et non pas-j-ô qui représente une valeur positive. Cela posé , si b est positif , ta première

racine x' prend ta forme g, cl la seconde racine x* prend lu forme — ^ ; si , au contraire , b est négatif, la première racine

prend la forme — et la seconde prend la forme

1"Cas. 0 = 0 6>0.

II. La forme — — indique une impossibilité pour cette racine. En effet, puisque o = 0, l’équation ox* -|- éx -f c = 0 s’abaisse au premier degré , et elle n’a pas deux racines , mais

elle en a une — | qui est fournie par l’équation 6x-f-c = 0.

290 , ’ RÉSOLÜTION ET DISCÜSSION '

Or, on peut s’assurer que dans ce cas l’indélemiination n'est qu’apparente.

Avant de faire o = 0 dans la formule [1], multiplions haut et bas par — b — y' 6* — Aac, et il viendra

^ ( — b \Jb^ — 4ac) ( — b — \Jli‘ — 4ac)

2a( — b — 6* — 4ac)

Mais le numérateur est le produit de la somme algébrique des quantités — b et ^b‘ — 4oe, par la différence algébrique de ces mêmes quantités, ce qui donne la différence des can és, et pai conséquent 6’ — (6’ — 4oc); celte expression se réduit à 4ac, en sorte que nous aurons

af =

4flc

2o(— é — v'6> — 4oe)

Sous celle forme on reconnaît que l’hypothèse de a = 0, fait évanouir les deux termes; supprimant donc ce facteur, nous pourrons écrire ,

2( — b — y/é’ — 4ac)

Enfin , faisant l’hypoUièsc de a = 0, il viendra

2* Cas.

■fi’

ni. La première racine *' = ~ -ô’ seconde prend la forme

0 . ' Pour montrer que l'indétermination n’est qu’apparente, multiplions les deux termes de af par — y/V — 4ac, cl

DE L’BQCATION la PLUS GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ. 291 nous aurons successivement

^ ( — b — y/ 6* — <ac)( — é-f-y/ft* — 4ac)-

~ 2a(— ô + y/6* — 4ac) ’

. fr* — (b' — 4ac)

‘ 2a( — ft -{■ '

2o( — 6 + — 4ac) ’

divisant par a, et faisant ensuite a=0, nous aurons