DE QUELQUES PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ

La transformée devient successivement :

Changeant le signe de chaque terme, ce qui revient à tout multiplier par — 1, il vient

Comparant cette équation , aetuellement traductible en langage ordinaire, avec l’équation [I] du problème proposé :

On voit sans peine que 4 personnes sont survenues pour participer au partage des 360 fr., ce qui a diminué de 3 fr. la part de chacune des 20 personnes, entre lesquelles devait d'abord avoir lieu la distribution.

Problème VII. Un voyageur court après un autre; celui qui est devant, a aujourd'hui a lieues d'avance; il fait aujourd'hui b lieues, et chaque jour c lieues déplus que la veille; l’autre fait régulièrement d lieues par jour. Trouver C époque et le lieu de la rencontre des deux voyageurs.

Supposons qu’ils se rencontrent dans x jours.

Fæ voyageur qui est devant, fait aujourd’hui b lieues; domain b-{-c; après demain le jour suivant, 6-f*3c....; le

dernier jour + Ces divers chemins forment une

progression par différence; leur somme est donc égale au premier, plus le dernier, le tout multiplié par la moitié du nombre des chemins parcourus {Arith., n* 108), ce qui donne

[26 + (a; — l)ctx

RKSOI.ÜTION

3tO

L’autre voyageur faisant d lieues par jour, fera dx lieues ei> X joiïrs ; or , ce chemin surpasse l'autre de a lieues , on aura donc l’équation

[Il dx qui donne

et par suite,

id — lb + c , 2a „

— 26 + e ± y/ (2rf — 26 + e)' — 8ac 2c

Applicalions aumériques du proldèmc précêdenl.

PnoBi.ÈME VIII. Un voyageur court après un autre; celui gui est devant a aujourd'hui 20 lieues d'avance; il fait une lieue aujourd’hui, et chaque jour une lieue de plus que la veille; l'autre fait régulièrement 1 lieues par jour. Trouver l’époque et le lieu de leur rencontre.

Posons a = 20, 6=1, c = l, d = 7, et la formule [2] donnera x' = 5, æ"=8. Il y aura donc deux rencontres, l’une dans 5 jours et l’autre dans 8 jours.

Eln effet, pendant 6 jours l’im des voyageurs fera 5 fois 7 lieues ou 35 lieues, et l’autre en fera 1 -f-2+3-4-4-f-5ou 15; ainsi le premier aura fait 20 lieues de plus que le second; il l’aura donc atteint. Le si.xième jour il le dépassera, car il fera 7 lieues, et l’autre 6, ce qui fera une lieue d’avance. I>e septième jour ils feront 7 lieues chacun , ce qui fera encore une lieue d’avance ; mais le huitième jour celui qui avait dépassé l’autre ne fera que 7 lieues, tandis que celui-ci en fera 8 ; il sera donc lui-mèrae atteint. Ainsi, ces voyageurs se rencontreront une seconde fois le huitième jour, ainsi que l'indique la solution du problème. Il est d’ailleurs facile de voir que ces rencontres auront lieu l'iinc à 15 lieues et l’autre à 36 lieues en avant de celui qui est devant.

Problème IX. Un voyageur court après un autre ; celui qui

M QUBLQUIS PBODLÈMES IH’ SECO>'D DEnHÉ.

est DEBRitKB est de 5 lieues en retard; il fait 5 lieues aujourd'hui et chaque jonr une lieue déplus que la veille-, l'autre fait rétjulièrement 6 lieues par jour. Trouver l'époque et le lieu de leur rencontre.

Cet énoncé diffère de cehii du problème VTI, en ce que celui des deux voyageurs qui était devant est actuellement derrière , en sorte que la quantité qui représentait l’excès du chemin de l’un surràutrc, représente encore le même excès, mais avec cette difTérencc que celui qui avait le moins de chemin à faire , en a maintenant le plus à parcourir. Pour exprimer ces conditions à l’aide des quantités négatives, on posera a= — 5, 6 = 5, c = 1, d = 6, et la formule [2] donnera af = 5, x" — — 2.

Le nombre 5 répond directement au problème; car, celui qui est en arrière de 5 lieues, fera en 6 jours 5+6-f 7+8 + 9 ou 35 lieues; celui qui fait 6 lieues par jour fera 30 lieues en 5 jours, ce qui donne bien 5 lieues de différence.

Quant au nombre 2, ob.servons d’abord que a ayant changé de signe , l'équation [1] devient

dx = —l^ ~.x — a;

puis, changeant a: en — x, et faisant les transformations de signes nécessaires h la traduction en langage ordinaire, il vient

dx = ^ . X + O.

Actuellement , toute la difficulté consiste à trouver dans le terme

la somme des termes d’une progression par différence , dont le nombre des termes est x, et dont la raison est c; il faut donc que le dernier terme soit égal au premier plus ou moins (x — l)c; décomposant le numérateur de la fraction [3] en deux parties , dont l’une soit — (x — l)c, on trouve

ou • + . ar.