A CB
Cela posé, soit C le point inconnu également éclairé, désignons AC par X, d’où
CB=d — X.
A la distance 1, l’intensité de la lumière reçue de la lumière
est a; à la distance 2, elle est 7 ; à la distance 3 elle est ^ —
enfin, à la distance x, elle est —
Semblablement, l’intensité de la lumièreB est^ àladistance2.
PROBLBMB DES LUMIÈRES.
^ à la distance 3, à la distance d — ar ; or, ces inten-
9 [a^xy
sités doivent 6trc égales; l'équation du problème est donc a b
Résolvant cette équation d’après la règle ordinaire, on
trouve
— iadx-\-a^ — 0.
d’où
d{a±f/âb) a — b
Mais
}/âb=^aX^b
et
a=^ax/â;
par conséquent.
ad-^ab
peut s’écrire /â'^\/â±:/âX}/b ou ^{\fâ±\fb)\
d’ailleurs, le dénominateur a — 6 peut être regardé comme la différence de deux carrés, {\jaf — (v^é)*, et par suite, comme le produit de par — y/ô; en conséquence, la valeur de
X devient
^ {^/a-\-^b){<iâ—^fb)'
Si l’on prend le signe + du radical le facteur commun y/« disparait ; si, au contraire, on prend le signe — , c’est le facteur y/a — y/é qui disparait , en sorte que la double valeur de X revient à
d’où
dy^
yja±yjb
314 PROBLÈME DES LOMIÈtES.
séparanl les deux solutions, on obtient
1" Solution.
2* Solution.
\Ja —
V'ffl v'a —
Remarque. On peut encore obtenir la formule [3] en extrayant la racine carrée des deux membres de l’équation [l], ce qui l’abaisse immédiatement .au premier degré. On obtient de la ' sorte
par suite
\ja±\/b
Discussion. Trois cas principaux sont à distinguer \ a> b, a<C.b, a= b,
1" Cas. o>-ô.
La valeur de x' est positive et plus petite que d, parce que le
dénominateur de la fraction est év idemment plus grand
que le numérateur, donc il y a entre les deux himicresun point C qui répond directement au problème proposé ; d’ailleurs, comme on a é<o, on a aussi v'a-f-v/é< II* fraction
y** est donc plus grande que ^ ; par suite, la valeur de x' v'a+v't»
est plus grande que ce qui montre que le point également éclairé est plus près de B que de A , c’est-à-dire de la lumière qui a la plus faible intensité, ce qui doit être.
PROBLÈME DBS LDMIÉSES. 315
üi valeur de d — x* esl aussi positive et plus petite que ^ d, ce qui s’accorde avec le résultat précédent
La valeur de x" est positive, mais elle est évidemment plus grande que d, ce qui apprend qu’il y a un second point G' également éclairé par les deux lumières, et situé au delà du point B.
Quant à la valeur de d — x", elle est négative, et l’on voit qu’en môme temps la distance BG' est portée en sens contraire de la distance BC; ainsi, le changement de signe correspond an changement de sens, comme nous l’avons déjà vu ailleurs.
2' Cas. a <5.
La valeur de x' est positive et plus petite que donc il y a entre A et B un point G" également éclairé, et plus près de A que de B. La valeur d — x* est aussi positive mais plus grande que i d.
