AB : AC" :: AC" : BC

le point C" satisfait donc à la condition que le segment AC" est moyen proportionnel entre la ligne entière et cette même ligne augmentée de AC", ainsi qu’on pourrait le démontrer par la géométrie. On a donc résolu un problème corrélatif du problème proposé.

Les deux problèmes peuvent être confondus dans un même énoncé :

Trouver sur une droite AB, indéfiniment prolongée, un point tel que sa distance au point A soit moyenne proportionnelle entre sa distance au point B et la ligne AB.

On voit encore ici ce que nous avons si souvent remarqué, que le changement de signe correspond au changement de sens.

Remarque. Si , supposant le point cherché en E au delà du point B , on mettait le problème en équation en représentant AE par x, on aurait BE = *—o, et l’équation du problème deviendrait

x*=za(x — a).

or, les valeurs de x sont imaginaires, ce qui semblerait indiquer, dans la question, une impossibilité qu’on ne pourrait pas faire disparaitre par un simple changement de sens. C’est qu’en

d’cn problème de géométrie. 3‘25

effet, on écrit une absurdité en admettant que A.E, qui est plus grand à la fois que AB et que BE, puisse être moyen proportionnel entre ces deux longueurs; on toU donc que l’imaginarité est ici amenée, par une fausse hypothèse, sur la position du point qui implique en elle-même une contradiction.

Le problème que nous venons de résoudre fait voir comment on peut traiter par l’algèbre certains problèmes de géométrie. (Voir les Exercices.)

326 ÉOVATKOS RÉDCCTIBLES AD SECOND MGRÉ.