DEGRÉ
SOMMAIRE
268. Résolution de l’équation générale as'+pœ’+Ç — 0. — 260. Dis-
oussion. Examen des trois cas principaux : -j— q<0> 9>0î
£ — q = 0. Remarques. — 270. Autre manière de discuter 1 équation
bicarrée. Tableau résumé de la discussion. — 271. Applications. Décomposition du premier membre en facteurs du premier degré. Composer une équation bicarrée ayant des racines données. Résoudre 1 équation a:* — 1 z=0. Autre méthode par la décomposition du premier membre en deux facteurs réels et en deux facteurs imaginaires du premier degré. — 272. Résolution de quelques équations binômes réductibles au second degré.
Résolution et discussion de l’équation générale x* + px’ -1- q — 0.
208. Jusqu’ici, nous n’avons résolu que des équations du premier et du second degré. Les premières n’ont qu’une racine cl les secondes n’en ont que deux, c’est-à-dire que le nombre des racines ne surpasse pas le degré de l'équation. Les applications conduisent quelquefois à des équations d’un degré supérieur au second. Parmi ces équations, on en rencontre qui peuvent être facilement résolues, par suite de leur dépendance avec les équations du second degré. Tel est l’objet de ce chapitre.
Les équations du quatrième degré, qui ne renferment que des puissances poires de l’inconnue, sont comprises dans la formule
[1] a:‘-t-px*-|-gr = 0;
on les nomme équations bicarrées.
KQIUTI0II8 DÉDUCTIBLES AD SECOND DEGRÉ. 327
t Posons [2] «*=y,
l’équalion [1] deviendra
y’+py+î=o,
d’où
Mais x*=y donne «=±v^y; mettant pour y ses deux valeurs, on aura finalement
[3] ar = ± '
ce qui fournit les quaire valeurs suivantes, égales deux à deux et de signes contraires :
si' = —
260. Discdssion. Si le radical intérieur est imaginaire, les quatre racines sont imaginaires ; car la racine carrée d'une quantité imaginaire ne peut pas être réelle, puisque toute quantité réelle, élevée au carré, donne une quantité réelle et positive.
1" Cas. Soit donc ^ — ?<0.
Dans ce cas, on a 9 >^ » et par conséquent q positif. Les racines sont toutes les quatre imaginaires.
2' Cas. Ç y>0.
328 KQI'ATIONS nÉDUCTlBLBS AU SECOND DEGRÉ.
Le radical intérieur est réel ; mais ce n’est pas assez pour que les racines de l’équation [1] soient réelles, il faut encore que toute la quantité soumise au radical extérieur soit positive. Il y
a donc lieu de comparer la valeur absolue du radical — q
avec la valeur absolue de — afin de pouvoir tenir compte ensuite des signes de ces quantités, pour apprécier le signe définitif de la somme ou de la différence algébrique soumise au radical extérieur.
Cela posé, si q est négatif, — q est plus grand que ; par conséquent — 9 est ptus grand que la valeur absolue
de ^ , auquel cas , le signe du radical intérieur détermine le
signe de la quantité soumise au radical extérieur. Il suit de là que les deux premières racines x' et a!' sont réelles, et que les deux autres aT et x" sont Imaginaires. .
Mais si q est positif, la valeur absolue de — q sera plus petite que la valeur absolue de — auquel cas, ce sera le signe
de ^ qui l’emportera sous le radical extérieur. Si donc p est
positif, les quatre racines sont imaginaires, et si p est négatif,' elles sont toutes réelles.
3* Cas. • ^ — g = 0.
Ijë radical intérieur s’évanouit. I^es deux racines x', x" deviennent égales entre elles, cl il en est de même des racines a;* et a;*’ :
Ainsi les racines sont imaginaires si p est positif, réelles si p est négatif, et nulles si p = 0.
Digilized by Coogle
En résumé, les racines d'une équation bicarrée sont, ou toutes reelles, ou toutes imaginaires, ou bien deux sont réelles et tes deux autres sont imaginaires. Ces racines sont toujours égales deux à deux et de signes contraires. Celle dernière circonslance lienl à ce que l’équalion [1] ne renferme que des puissances paires de l’inconnue. Si donc une quanlité quelconque a salisfait à celle équalion, — a, y salisfera aussi, puisque les puissances paires de — a donnent les mômes résultats que les puissances paires de -f- a.
Remarques. I. Puisque les racines de l'équation bicarrée sont
égales deux à deux lorsque l’on a ^ = ç, on voit que les quatre
racines ne seront égales qu'autant, qu’avec celte condition, on aura p — 0,ce qui entraîne q=Q. En elTet, dans ce cas, l'équation [1] se réduit à x*=0. On voit, d’ailleurs, que l’équation [I] ne peut jamais avoir trois racines égales.
II. Soit p = 0. Les quatre racines sont imaginaires si ÿest positif; il y en a deux de réelles et deux d’imaginaires si j est négatif.
Si q = 0, deux racine^ sont nulles; les deux autres sont imaginaires ou réelles, suivant que p est positif ou négatif.
Autre manière de discuter l’équation bicarrée.
270. L’équation en y, c’est-à-dire en **, est une équation du second degré, et les racines de l’équation bicarrée sont précisément les racines carrées des racines de cette équalion du second degré.
1' Si les racines de l’équation du second degré sont réelles, et si q est positif, elles sont de môme signe ; toutes deux négatives si P est positif, et toutes deux positives si p est négatif. Dans le premier cas , les quatre racines cherchées sont imaginaires, et dans le second elles sont réelles.
2° Si q est négatif, Icsjacines de l'équation du second degré sont réelles : l’une est positive et l’autre est négative ; par conséquent l’équation bicarrée a deux racines réelles et deux racines imaginaires.
3* Si les racines de l’équation du second degré sont égales, les racines de l’équation bicarrée seront aussi égales deux à deux.
GOCATIONS Ktol'CTIBLBS AD SEOOIO) DEGBÉ.
Tableau résumé.
1“ Cas. ^ — î<0 ou ff>^
quatre raciues imaginaires.
2* Cas. Ÿ>0
* ^ ( a; , X" imaginaires.
fp> 0 quatre racines imaginaires,
^ ^ (p < 0 quatre racines réelles.
3* Cas. g = 0 S'=4
P<o{j, = ^,jréels.
par suite î ^ J = ^' = = 0-
S71. Applications. Ezsmple I. Résoudre l'équation [13 ce*— 25a;*+ 144=0,
nous aurons succcssircmcnt y«—25y+ 144 = 0,
œ*=16, d’où ®=±:4,
*■ a^= 9, d’où x=±3.
Ainsi les racines cherchées sont + 4,— 4, +3, —3.
ÉQCATIOMS BÉDDCTIBLES AU SECOICD DEGRÉ. 331
Remarque. Puisque l’équation [1] est du second degré en a?, le premier membre de cette équation revient à
ctparsuitcà (x — 4) (x + 4)(x— 3) (x+3).
Réciproquement, pour composer une équation bicarrée dont les racines sont 3 et 4 , nous poserons
parsuite (x* — 9)(x* — 16)=x* — 25x’ + l44 = 0.
Autrement. Soit x* + pa:’ + g = 0 , l’équation cherchée. 3 est racine , donc mis à la place de x on a une équation du premier degré à deux inconnues p et g; la substitution de la racine 4 donne une seconde équation , et par suite le calcul se termine sans difficultés.
Exemple II. Résoudre l’équation [l] x* — 1=0.
On peut appliquer la formule [3] en observant que p=0, et queg= — 1; mais on peut aussi résoudre l’équation par la décomposition du premier membre en facteur du premier degré. A cet effet, on remarquera que si on multiplie a-(- é par a— o" aura la somme des carrés donc,
réciproquement, pour décomposer une somme de deux carrés a’ -}- b’ en deux facteurs imaginaires , on se servira de la formule
O* -f 6*= (a -f 6 v/=î) (a— lyaprès cela, l’équation [1] donne (a:‘)«-l=0,
cela posé, égalons successivement chaque facteur à Eéro, et il viendra :
332 ÉQrATtONS HBDUCTtBLES AU SECOND DEGRÉ:.
Reharqües. I. Nous nous sommes appuyé sur ce qu’un produit renfermant des facteurs imaginaires, ne peut être nul qu’autant que l’un de ses facteurs est nul ; nous avons déjà eu occasion de dire que ce principe serait justifié dans la théorie (1er. imaginaires.
II. Si l’on roulait vérifier les racines imaginaires de l’équation [1] on en ferait la substitution, en ayant soin d’exécuter les opérations d’après les règles rigoiu-euseinent établies pour lc,s quantités réelles; toutefois, à celte convention on a en soin d’ajouter que le carré de ^ — 1 est — 1 . ( Rem. du n® 233. )
Exemple III. Résoudre l’équation
X* — (26c-f-4a’)Æ*-j-6*c* = 0, y* — (2ôc-l-4a’)y -}-6V = 0,
y = bc 2a’ ± 2a^a' -j- bc ,
par suite a; =±; V 6c-i-2a’±2av^a’-j-6c.
Équations binômes réductibles au second degré.
