Exemple I. Résoudre l’équation

On a successivement :

X — 1=0, «*=-fl.

Exemple R. Résoudre l’équation «•-{-1 = 0,

On a successivement :

(«-fv^)(«-v/=ï)=o,

KQUiTlONS RÉDUCTIBLES AU SECOND DEGRÉ-

Exeuplb III. Résoudre l'équation

— 1 est divisible par ar— 1 (84), on peut donc poser (x-l)(a;* + x + l) = 0,

ce qui donne pour les trois racines cubiques de l’unité : ar' = l,

Nous engageons le lecteur à faire la vérification des deux racincsimaginaires par leur sulislitulion dans l'équation proposée.

Exemple IV. Résoudre l’équation a:> + l=0.

Changeons a; en — x dans l'équation a;* — 1 =0, et il viendra a:* + 1=0; donc les racines de x*+l=0 sont lés racines changées de signe de l’équation a^ — 1 = 0; par suite, il viendra :

ar — A y

1+^/3 ydl a; — 2

Remarque. On pourrait encore résoudre l’équation proposée en divisant son premier membre par ar + 1 .

Exemple V. Résoudre l'équation

Divisant tout par a:* il vient :

334 iQGATIOKS ItÉDrCTIBI-KS AU SECOND DEGIÉ.

Posons x-{-- = z{z étant une inconnue auxiliaire) ; il viendra successivement :

z« — 2 = 0, s==fcv'2,

Résolvant successivement les deux équations, renfermées dans cette dernière , on trouve

a/= iv'2-f-v'ïv^-

«'= y/lv/^î.

Exexplk VI. Résoudre l’équation

la décomposition du premier membre en deux facteurs , 'donne ;

Occupons-nous de l’équation

Cette équation complète du quatrième degré peut être résolue h l’aide des équations du second degré. En effet ,

Divisant par x^, il vient

ou [2] + 1=0.

ar ' * a? '

ÎQDiTIOIU RÉSÜCTIBLKS AU SICOIID DEGRS. 335

Posons [3] =

d’où ®*-j-p=s* — 2,

l’équation [2] deviendra

ou s' + s — 1 = 0; ’ , ■

les racines de cette équation sont réelles', ces racines sont :

Z étant connu, l’équation [3] servira à trouver les quatre valeurs de X.

Les racines sont :

... -l+v^ + v'lO + 2y/5v^

1 —v/ô+v'lO — 2v/5\/^

gIT— , , ^ ,

Exemple VII. Résoudre l’équation a:» -fl =0;

les racines sont respectivement les mêmes que les précédentes changées de signe.

É0UATIO!(S RÉDUCTIBLES AU SECOND DEGRÉ.

Exemple VllI. Résoudre l'équation

le binôme — 1 est la différence de deux carrés , par suite on peut écrire :

ce qui ramène la question à résoudre isolément les équations a:’ + 1 = 0 et a;’ — 1=0.

Exemple IX. Résoudre l’équation

Donc

Les équations binômes seront résolues plus tard dans toute leur généralité à l’aide des lignes trigonométriques. Les exemples fort simples que nous venons de traiter suffisent pour mettre en évidence toute la fécondité de la méthode que nous avons adoptée , de préférence à toute autre , dans la résolution de l'équation générale du second degré , et qui consiste à décomposer le premier membre en facteurs du premier degré; comme d’ailleurs il est en général superflu de donner plusieurs solutions d'une même question , nous nous contentons d’indiquer les autres méthodes de résolution dans les exercices du livre VII. Quant à la résolution complète de l’équation du quatrième degré qu’il nous a été possible de résoudre, elle ■ipparlient à la classe des équations réciproques dont l’étude est <iu domaine de Valgèbre supérieure.