Posons donc, s’il est possible

a: et y désignant des quantités commemurables qu’il s’agit de déterminer, d^’élévation au carré des deux membres de l’équation [1] donne

[2] A-fv/B = ar-|-y-l-2v/^,

or, cette équation ne peut avoir lieu qu’autant qu’il y aiu*a égalité entre les quantités commensurables d’une part, et les quantités incommensurables d’autre part.

Démontrons ce principe. .

Soit, en général,

[1] P-}-V^ = M-hv^.

P, Q, M, N, désignant des quantités commensurables, et v^N désignant des quantités incommensurables.

Si l’on n’a pas P = M et Q = N, l’équation [1] donnera ;

d’où, en élevant au carré.

[3] Q = {M-P}'*-fN-f2(M-PVN.

SL M est différent de P, on peut tout diviser par 2(M — P), et tirer la valeur de y .V, ce qui donne

BXTRAaiON CB LA RACINE CAHRÉB. 339

cc qui est impossible, car une quantité incommensurable ne peut pas être égale à une quantité commensuralile ; cette impossibilité cesse si M = P, puisqu'alors la division par M — P n’est plus permise; mais, dans ce cas, l’irrationnalité disparaît d’elleméme , et l’équation [3] se réduit à Q = N ; donc, finalement,

pui' suite, ^Q = y/N.

Gela posé, l’équation [2] pouvant se mettre sous la forme

[4] A + v^ = x + y-f-y/4xÿ.

Nous en conclurons successivement :

é x-t-y = A, ( v'4iÿ=;v/B,

(a;-t-y=A, ( ‘iry = B;

Les valeurs des inconnues sont donc les racines de l'équation

■— Aa +

Ces racuics sont

A-hVA'-B

Or , X et y ne peuvent être rationnels qu’à la condition que A’ — B sera un carré («arfait. Uuand cette condition ne sera pas remplie, le problème proposé sera impossible.

Soit

d’où [6J

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