EXTRACTION SB LA RACINE CARRÉE

Dans le pi emicreas, si on prend le signe + dans le premier membre , il faudra prendre le signe -|- dans le second ; si , au contraire r on prend le signe — , il faudra prendre le môme signe dans le second membre.

Dans le deuxième cas, si on prend le signe du premier membre , il faudra prendre le signe ou le signe — dans le second, suivant que x sera plus grand ou plus petit que y\ avec le signe — du premier membre il faudra prendre le signe — ou le signe ■}- dans le second. Ainsi, en prenant pour x la plus grande des deux quantités trouvées, on aura les quatre combinaisons suivantes :

+ v/â+Tb = + y/ïp + , -A-+7b=-v/^-V^^ -,

+ vïr^ = + y/^-v/^, -vA-3-î=v/ÏS+y/î^.

Remarques. 1. Si la quantité .A’ — B n’était pas un carré, mais qu’elle fût positive, la formule [8] conduirait à

dans ce cas la transformation ne ferait rien gagner, puisque chacun des radicaux est de même forme que le radical primitif.

Si A* — B était négatif, les deux radicaux trouvés porteraient sur des quantités imaginaires. Cette question se trouve donc comprise dans la théorie des imaginaires.

II. La formule [9], appliquée à deux expressions conjuguées, c’est-à-dire à deux expressions qui ne düTèrent que par le signe de conduirait à une réduction. On trouve , en effet ,

v''A-fv'B -f A — v'B = i A-t-v'V^ ,

V A -f V B — V A — y/B = A Va — v^A’^B.

342 BSTHACTION DE LA RAaKE CARRÉE.

276. Applications. Exemple I. Extraire la racine carrée <ln nombre 94-j-42 y 5.

Faisons entrer 42 sous le radical, et nous aurons, en indiquant la racine cherchée,

Nous avons désifrué par C la valeur absolue du radical y' A’ — B ; c'est donc par la détermination de celle valeur qu’il faut commencer quand on cherche à séparer deux radicaux superposés. Dans l’exemple actuel

A = 94, B = 8820, A* — B = C* =(94)* — 8820 = 16 ; par suite C = 4; la formule [7] donne donc

En effet , (7 -f 3 y'ô)’ = 49 -1- 42 -|- 45 = 94 -f 42 y 5.

' Exemple B. Transformer l’expression

v/np -f- 2m’ — 2m ^np m*.

L’application de la formule donne

A = «p-f-2m*, B=4m*(np-|-»n*), A’ — B=n’p*, C = np;

par suite l’expression proposée devient y/np -f- m* — m, en appliquant ici la troisième des formules provenant des quatre combinaisons de signes.

Exemple III. Réduire l’expression composée.

V'ôc -f 2b\/bc^ + \ bc—2b^bc^,

en supposant que l’on ne prenne que la valeur positive de chaque radical.

Calculons la valeur de A’ — B = C*, il viendra : é*c*— 4ô^5c — é’J=C’, ou [I] 6^25— c)’ = C’;

EXTRACTION DE U BÀCINE CARRiE. 343

or, C désigne la valeur absolue du radical y^A*— B, il faut donc, en extrayant la racine carrée des deux membres de l’égalité [1], distinguer les deux cas :

1° C = é(26 — e) si 1b — c>0;

2* C = é(c — 1b) si c —

1" ^bc + 1b>Jbc^^=zb-[-\/b’,b — c),

bc — Ib^bc — t^=zb — \/b{b — c);

2“ \!bc -f 26 = y/6(e — b) b,

yjbc — 1b yjbc — 6* = y/ b[c — b) — b\

en sorte que dans le premier cas la somme cherchée est 1b , tandis que dans le second ello est 2 y/b{c — b).

On voit par là combien il était nécessaire de distinguer les deux valeurs de C. ,

344 BKSOLUTION D’uNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ