Occupons-nous donc de résoudre les équations
[1] Ay*-f Bxy-|-Cx*-f-Dy-f Ex-f-F = 0,
[2] y — ax-\-b.
Substituons, dans [1] , la valeur de y, et nous aurons une équation à une seule inconnue x. Il est d’ailleurs facile de voir à priori que celte équation finale est du second degré.
Cela posé, soient « et oé ses racines ; en les substituant altema-
346 RÉsoLcnoN n’cm* iQüxTios dü second degré
Uvement dans l'équation [2] , on en déduira chaque fois une ^ valeur correspondante p, p' pour y; en sorte que le système proposé admettra les deux couples de valeurs :
(y = p ly = P'.
Ces solutions, réelles ou imaginaires, sont les seules que l’on puisse obtenir, puisque l'équation finale est du second degré, et qu’une équation du second degré a deux racines et jamais plus.
270. Applications. Exemple 1. Résoudre le système d’équations ;
[1] **-)-y*-fy— 14=0,
[2] donne y=l-f-ar.
Substituant dans [1] , il vient
d'où a' = 2, a/' = — 3;
par suite y' =3, y"= — 2.
Les deux solutions communes aux équations proposées sont donc . .
fa:'=2 Ca/'= — 3
|y' = 3 ly" = — 2.
Exemple R. Résoudre les équations :
[1] ar* — 2xy-f-2y*-|- 4x — y = 9,
L'équation [2] donne C3] •«?
ay + 4 3 ■
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A DEUX INC0NNDB8. 347
Substituant celte xaleur dans l’é<|uation [t] , on trouxe, réductions faites,
d’où ■ y' = l,
par suite, l’équation [3] donne :
af =2 , a/' =0,2.
Les deux solutions communes aux équations proposées sont donc
tj/=2 fa/' = 0,2
ly' = l ty"=l,7.
Remarque. La méthode générale par substitution est quelquefois remplacée avec avantage, soit par la méthode de réduction, soit par des méthodes détournées. A cet égard, tout dépend de la sagacité et de l’habitude de celui qui opère.
Exemple 111. Résoudre les équations :
[2] 3ary — 5y' — 7 = 0.
Multiplions [1] par y et retranchons membre à membre, il viendra
lOy* — 71y-f7 = 0,
d’où fy' = 7 fy" = 0,l
par suite (a:' = 12 (ar"=23,5.
280. Problème. Trouver deux nombres tels que la différence de leurs carrés soit égale à q, et que la différence de leurs produit s respectifs par deux nombres donnés a et b, soit égale à S.
Soient x le premier de ces nombres et y le scæond, les équations du problème seront ;
[1] ’ a;» — y* = gr,
[2] ax — ùy=S.
Cherchons l’équalion finale en x.
L’équalion du premier degré donne
Substiluant celle valeur dans l’équalion [1] , on trouve, toutes réductions faites,
[4] («» — — 2oSx+ S’+6*ç=0,
d’où [5]
nS± VS’ — 9(tt’— a’— 6*
Poi’tanl celle valeur dans [3], il vient
Notre substitution des deux valeurs de x, dans l’équation [3], 'montre que les signes des radicaux, dans les formules [5] et [6] , sont coordonnés, ce qui veut dire que l’on doit prendre en même temps dans la valeur de x et dans la valeur de y, soit le signe supérieur, soit le signe inférieur.
Si a/, x" désignent les valeurs de x, et si y" désignent les valeurs de y, les deux solutions du problème seront :
1" solution
aS+ VS»-y(g’-6»;
, èS4-VS’— y(o’— è*!
I„ oS — VS* — y(a‘ — b*)
6S — ay'^S’ — q{a* — 6*).
Discussion. Ces expréssions sont affectées d’un radical. Si la quantité soumise è ce radical est négative, le radical est imaginaire. On ne pourra rien faire dés expressions trouvées il n’y aura pas de solution.
Si la quantité soumise au radical est positivé, ce radical est
A DEUX INCONNL’ES. 349
réel, auquel cas il y a lieu d’examiner si les valeurs trouvées sont positives ou négatives.
Il y a donc deux cas principaux à considérer :
1" Cas. s*— î(a*—
Il n‘y a pas de solution, puisque le radical est imaginaire. Ce cas ne peut sc présenter qu'autant qu’on a a>6, sans quoi la quantité soumise au radical serait positive.
2' Cas. S*— ç(a* — 6’)>0.
Les valeurs sont toutes réelles; reste à chercher leurs signes, et comme elles sont exprimées par des fractions, il faut examiner le signe de chaque terme. Or, le dénominateur commun est «’ — 6*; on doit cxamkier si l’on a o>6.ou a <6.
1“ ff>6. Le dénominateur est positif; ît' 61-/ sont positifs; donc d'abord, dans ce cas,' il y a toujours une solution. Uuant à x", il faut comparer, <lans le numérateur, le terme «S avec le terme 6v^S* — 6’) ; oV, le radical est plus petit que ou que S, et comme b est plus petit que a, le terme VS’— est plus petit en valeur absolue que le terme oS; donc la valeur de x" est positive.
Quant à y', (>onr connalire son signe, il faut comparer le ferme 6S avec le terme av^S’— 7(0* — 6*); or, le facteur b du premier est plus petit que le facteur a du second, tandis qu’au contraire, le facteur S est plus grand que le facteur — ç(«’— 6’);
il y a donc incertitude au premier abord.
Pour que le numéraleur soit positif, iLfaul que l’on ait
[7] &S>ov'S>— 7(a‘ — a*),
ce qui donne successivement
d’autre part, l’inégalité S’— 5(0* — a*)>0 donne 5<ÿ^^,
350 RÉSOLUTION d’une ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
Jonc, pour que y" soit positif, il faut qu’on ait
ce qui est possible parce que ^ est plus petit que ainsi,
dans le cas actuel, il y a deux solutions.
Mais, si l’on a ÿ< l'inégalilé [7] se renverse el y" est n«^-
gatif. Dans ce cas, la seconde solution ne répond plus directement au sens de l’énoncé.
Il est bon de remarquer que la condition cnlraine a
plusfortcraisonrinégalitéy<^f-^; donc, dans ce cas, iln’ya
5 proprement parler qu’une condition au lieu de deux.
Dans le cas paiticulier ou ? = l’inégalité [7] se transforme en égalité et l’on a ^” = 0; d’ailleurs la seule condition y = — suffît pour la réalité du radical.
2" àc^b. Pour plus de commodité, nous écrirons les deux solutions ainsi qu'il suit ;
— aS — év'S'-f 9(5* — O*
— 6S — av'S‘-f y{6* — O*)
, — aS4-5v''^' + ?(^— “’)
2” Solution <
I — 5S-fav/S*4-y(5* — a») :
Dans le cas actuel, la seule condilion a< ô suffît pour la réalité du radicid quel que soit y, et les valeurs de x' et de y' sont toutes deux négatives. Comme b est plus grand que a cl que le radical est plus grand que S, la valeur de x* est positive. Quant il yf il faut chercher si le ternie ay^S’-f-yCé* — a*) peut être plus grand que ôS.
1" Solution
' - • A DEl’X IMCONKDES. ,
Posons donc la condition ' •
'[8] ' av'S*+ÿ(6*-«')>5S,-
ce qui donne successivemenl
a*S* + a»ÿ(6* — o*)>6’S’, aV(5‘ — a*)>(i* — a’)S*.
^Viiisi, si celle condition est remplie, 'y* est positif et les valeurs des deux inconnues sont positives dans la seconde solution. ‘
Si l'on a l’inégalilé [8] sc renverse, ij" est négatif et
aucune des ilcux solutions ne répond dii'eclenicut au problème.
Si
?=Hi. y"=o-
3“ a=.b. Cette condition suffit pour la réalité, car le radical se réduit à y^S’ ou à S, par suite les valeurs prennent la forme
1" Solution
2oS
2* Solution
La première solution est impossible. Quant à la seconde, il y a lieu de cliercher à faire disparaître l'indétermination qui tient è une seule hypothèse. ^ "
La valeur de ar" est '* * ' ’ ‘
— nS + 5v'S‘+ç(5'— o‘) .
multipliant haut et bas par — «S — 6 y'S* + (6’ — o‘) , ce qui
352 ' KÉ80LITI0N D’üNE BQUATION DU SECOND DEGRÉ
donne au numérateur la différence de deux carrés il \ ient suc-
cessiveinent
(6* — O*) [— oS — 6 v'S’ + gC**— a*)] ’ S*(o» — 6’) — 6V(y— O*)
(é* — a*j [— aS — 5 v'^* + g (**-“
— (5» — fl‘) [«S -I- 6 v'S» + 7 (5*— o')]‘ -
Supprimant le facteur commun 6’ — o* qui pour a = b annule les deux termes, puis faisant I hj pollièse particulière on obtient
on trouverait pareillement - > . -
» 2oS ■
En effet, si l’on remonte à l’équation . • '
' («*— ô*)a:* — 2«Sa;-|-S’ + é’g=0,
et que l’on y fasse a = 6, elle se réduira à l’équation du premier degré
— 2aSx + S’ + o’g = 0 ,
qui donne et par suite
2aS ’
résultats conformes aux précédents. Ainsi, il n'y a qu’une seule solution.
3' Cas. S«— g(«*— 6’) = 0. >
Le radical s’évanouit et l’on trouve . , V '
