V. Les équations x*—y^=q

ax — 6y = S,

peuvent s’écrire y* — x* = — y,

5y— ox = — S;

et en les comparant sous cette forme aux équations précédentes, on reconnaît qu'elles peuvent s’en déduire en changeant X en y, y en x, a en é, 5 en a, y en — y, et S en — S ; si donc on rapporte tout le calcul à y au lieu de le rapporter à x on obtiendra la valeur de y en faisant, dans la valeur de x, les changements précédemment indiqués, ce qui donne

— 6S ± av/S’ + y(5*— o‘)

Or, une difficulté se présente; on a deux valeurs pour y comme on avait eu doux valeurs pour x, de manière qu’en les combinant on aurait quatre solutions au lieu de deux ; mais les valeurs de x et de y sont liées par l’équation du premier degré ax — by = S, et si on les substituait dans cette équation elle devrait être satisfaite; il faudrait donc que le radical disparût par l’évanouissement de son coefficient après la réduction, car, en général, une quantité irrationnelle ne peut pas se détruire avec une quantité rationnelle ; les coefficients du radical dans ax et dans by se trouvent égaux , et la nécessité de la disparition du radical détermine le choix du signe ; il faut ici qu’il ait le môme signe dans x et dans y à cause du signe — interposé entre les termes ax et by.

On peut remarquer, en môme temps, que les parties rationnelles doivent sc détruire de leur côté , ce qui donne une vériücation.

Résolution de plusieurs équations du premier degré combinées avec une équation du second degré.

Util. Les problèmes conduisent quelquefois à la résolution de plusieurs équations du premier degré combinées avec une équation du second. La méthode générale consiste encore dans

A D8UX INCOXM'ES. 357

remploi de l’élimination par subslilulion, et on reconnailra sans peine que \' équation füuUe est du second degré.

Exemple. Trouver trois nombres connaissant leur somme S, la somme S' de leurs produits respectifs par des nombres donnés a, b, c, et la somme S* de leurs carrés.

Les équations du problème sont

ax-\-by-\-cz = S',

s étant supposé connu, [1] et [2] donnent

a(S — 3) — (S'— CS)

On substituera ces valeurs dans l'équation [3], ce qui donnera • une équation du second degré en z. Les valeurs s', s" une fois trouvées, on les substituera dans celles de x el de y, et le problème sera résolu.

RKSOLUTIOK DE PLDSIEUES ÉQUATIONS