RÉSOLUTION DE PLUSIEURS ÉQUATIONS A PLUSIEURS INCONNUES

SOUIAIRB.

28Ü. Résolution de deux équations du second degré à deux inconnues. Méthode générale. Exemples qui prouvent que celte méthode générale peut quelquefois être remplacée avec avantage par des méthodes détournées. — 283. Application de ce qui précède à la résolution de quelques problèmes.

Résolution de deux équations du second degré à deux inconnues.

5Ï82. Soient les équations les plus générales du second degré à deux inconnues

[1] ax' + tey-f + +

[2] a'x--\-h'xy-\-c'y*-\-dy-\-('x-\-f = (i\

ordonnant cos équations par rapport à x, il vient

[3] ox’ + (6y + e)x + cy’ + dy-f /■=0,

[4] o'i» + (6'y + Oa; + c'ÿ‘ + d'y + r = 0 ;

tirant la valeur de x de l’équation [3] comme si y était connu, et lu substituant dans l’équation (4] on aura une équation àunc seule inconnue y ; par suite on en déduira les valeurs de x. Mais l'équation qui résultera de cette élimination sera une équation irrationnelle que l’on peut éviter. A cet effet, on multipliera respectivement [1] et [2] par a' et par a; on retranchera

A PLCSIBDKS INCONNUES. 359

membre à membre, et il viendra

[5] [(o5' — ba')y -\-<uf — ea']x + (oc' — ca')y’ + {ad' — da')y + (ar-/à')=0.

Résolvant celte équation par rapport à x, puis la substituant dans l’une des équations [1] et [2] , [1] par exemple , on aura une équation & une seule inconnue y ; cette équation une fois résolue, on déterminera facilement les valeurs correspondantes de X.

Mais ici l’équation finale n’est plus du second degré.

En effet, la valeur de x, tirée de l’équation [6], est de la

orme faction sera élevée carré, puis-

que X entre à la seconde puissance dans cliacune des équations proposées ; le carré de cette fraction introduira donc y* au dénominateur, ^ et au numérateur, en sorte que la substitution de X conduira linalement à une équation du quatrième degré de la forme

aŸ-\-bÿ^-\-c^-\-dy-\-ey-\-f=0 qu’on ne sait pas résoudre

Nous nous bornerons donc à traiter des cas particuliers.

Toutefois, ainsi que nous l’avons déjà observé , l’habitude du calcul suggère souvent des méthodes détournées ou artifices de calcul préférables aux méthodes générales.

Exemple I. Résoudre les équations.

[2] y* — 2xy-l-2(x-f-y) — 2 = 0; ôtant [2] de [1] il vient

prenant la somme x-j-y pour inconnue aiuxiliaire, l’équation [3] est une équation du second degré qui donne x-|^y = 5 et X -j- y = 1 ; par suite [1] et [2] peuvent être remplacées par

fy* — 2xy-|-8 = 0, t x + y = b, r y* — 2xy=0,

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