RÉSOLUTION DE PLUSIEURS ÉQUATION

Exemple II. Résoudre les é<iuations

[1] ar’-f-y*— 5xy + 35t=0,

[2] )xy + 2(a:— y)— 14=0,

[1] ajouté au triple de [2] donne

piu' suite, les systèmes à résoudre, sont

f xy—M r xy= 28 tz — y= 1’ (a: — y = — 7‘

Application de ce qui précède à la résoluUon de quelques problèmes.

885. Problème 1. La somme de deux nombres est a'; leur produit est b*; quels sont ces nombres ^

Les éipiutions du problème sont :

[2] , xy = 6*. -

L’équation [2] donne y = - >

substituant cette valeur dans [1], il viendra

Résolvant cette équation bicarrée , on obtient x = ±\/ .

Cela posé, voyons si la condition nécessaire et suRisanle pour qu'on puisse séparer les radicaux , se trouve ici rempUe. I^ quantité soumise au radical extérieur peut s’écrire

|a’±iv^a‘ — 46‘,

ou .i a’ ± v^J{a* — 46‘),

d'après ce princi|>e d’arithmétique , qüe la racine carrée d'un

À PLUStECRS INCONNUES. 361

produit est égale au produit des racines. Or, d'après ce qui a été dit au n* 27 A, on trouve :

c’est-à-dirc un carré parfait ; par suite, on peut écrire a: = db j(v^a' -|- 2é’± v^a* — îé*).

Quant h la valeur de y, on l’obtient immédiatement, puisque les équations [1], [2] sont symétriques en \ et en y; ainsi

Remarques. I. Les inconnues a: et y ont chacune quatre valeurs ; il semble donc, au premier coup d'œil, que les équations [1 ] et [2] doivent admettre seize solutions ; mais le produit xy est le carré de 6, et par conséquent positif; il faut donc que le radical y^a* — 26 ail des signes contraires dans les valeurs de x et de y, et que les signes qui précèdent les crochets soient les mêmes. D’après cela, on aura

sous la condition de la correspondance des signes. On prendra à la fois dans les deux formules les signes supérieurs, ou les signes inférieurs, ce qui donne lieu à quatre solutions; mais ce nombre peut être lui-même réduit. En effet, les équations [1] et [2] sont symétriques en x et en y ; si donc

est une solution ,

en est une autre; et comme ces deux solutions n'en font qu’une, les quatre solutions ci-dessus sc réduisent finalement h deux , savoir :