RÉSOLUTION DE PLUSIEURS ÉQUATIONS
II. On peut appliquer à la résolution des équations [1] et [2] une métliode moins directe que la précédente, mais qui a l’a- \antagc de fournir les inconnues sans radicaux superposés. Voici le calcul :
[2] xy = b‘, ajoutons à [1] le double de [2], il viendra
d’où [3] x-\-y = ±\ja*-\-ibi‘.
La question est ainsi ramenée à trouver deux nombres, connaissant leur somme et leur produit.
Ces deux nombres sont, comme nous l’avons vu au n° S38, les racines d’une même équation :
3’ qr (v'o* -f- 26*)a -f- ** = 0»
d’où
|mr suite, on retombera sur les formules précédemment trouvées.
lit. Au lieu de se borner ù ajouter à l’équation [1] le double de l’équation [2], on pourrait aussi la retrancher; on aurait alors
(x + y)« = a‘ + 2ft*,
par suite, x + y = ± v^a’ + 26*,
la question se trouve ainsi simplifiée, autant que possible, puisqu’elle est ramenée à trouver deux nombres , connaissant leur somme et leur différence.
En conséquence,
A PLOSUOBS IXœNNiiKS.
formules qui, d’après la discussion précédente, se réduisent à celles que l’on a déjà trouvées. Ainsi , finalement , les valeurs des inconnues s(Mit :
f a; = + f + 2à* + iv^o* — 26*,
{ y = + y(^ + 2b^ — ya?—2t^i f a? = — 4v'a‘-H2à‘— 2à*.
Üiscussioa. 1“ Soient a et à tous deux positifs et a> V2. Le premier système donne des valeurs réelles et positives pour x et pour y; le second, des valeurs réelles, mais négatives.
2° Si l’on a a < à^/2, les valeurs de x et de y sont imaginaires dans les deux systèmes, auquel cas le problème proposé est impossible.
S* Si l'on a a=b^2, le premier système donne des valeurs réelles et positives ; le second, des valeurs réelles mais négatives.
Pboblëhe n. La différence des carrés de deux nombres est a ; leur produit est b ; quels sont ces nombres ?
Les équations du problème sont :
[2] xy = b, leur résolution donne
U=Véa-l-Va»-Hà*
( ^=Vio-iv/a‘-j-4à*
»=— V'îa + i\/a* + -l*‘ y=-v'-4o + iv/?T4P ( x=— Vlfl— Wo*-l-4à*
{ y=v/ia-^v/a’+‘»».
364 RKSOLl'TION DE PLUSIEURS ÉQUATIONS
Discussion. 1*o>0; les solutions [1], [3] sont réelles; l'une composée de valeurs positives, l’autre de valeurs négatives. Les solutions [2], [4] sont composées de valeurs imaginaires.
2* a<;0; il en est de même que dans le cas précédent; seulement, X prend les valeurs qu'avait y, et réciproquement.
3° a=0; les valeurs de x ainsi que celles de ^se réduisent à -±.^ ±b, et les équations [1] et [2] montrent bien que dans ce cas X doit égaler y.
Problème UI. Le périmètre d'un triangle rectangle est 12 ; sa surface est 6 ; trouver ses trois côtés.
Les équations du problème sont ;
[2] iry = 12,
[3] 3« = x*-fy*.
Cherchons la valeur de a: + y-
[1] donne x-\-y=:\'î — z,
carrant, il vient
«•+ y’ -l- 2xy = 144 + s* — 24-;
remplaçant x' -f- y*, et xy par leurs valeurs respectives s* et 12, on trouve l'équation du premier degré
d'où s = 5.
Z étant connu, [1] donne
mais xy = \i,
donc a: = 4,
I^OBLÈMB IV. Trouver quatre nombres en proportion, connaissant la somme des extrêmes, la somme des moyens et la somme des carrés des quatre termes.
A PLUSIEURS INCONNUES. 365
X, y, Z, t désignant les nombres demandés, les équations du problème sont :
xt = yz.
Cherchons la valeur de xt, puisqu’aloi's on connaîtra xt et x-\-t, par suite yz et y
Cela posé, élevons au carré les deux membres des équations [2] et [3] ; de leur somme ôtons l’équation [4] , et il viendra
et par conséquent [6]
S' + S"*— S" yz= ^ ,
par suite
en sorte que la proportion demandée est
ainsi qu'on peut le vérifier en égcilant le produit des extrêmes à celui des moyens.
On voit, en outre, que le problème n’est possible qu’autant que les carrés des nombres S, S' ne surpassent pas S’.
366 RÉSOLITION DB PLUSIEDRS ÉQUATIONS, ETC.
Problème V. Trouver quatre nombres en proportion , connaissant la somme des extrêmes , la somme des moyens et la somme des cubes des quatre termes.
Les équations du problème sont ;
xt=yz
Les équations [2] et [3] donnent ;
ar* + + <’ = S’,
y’ + 3y>= + 3ys> + 3* = S'*.
Ajoutant, il vient
dou xt= ,
et le reste s’achèvera comme précédemment.
