PROPRIÉTÉS
facteurs seront de signes contraires, et leur produit sera négatif. .\insi , le trinôme x* -|- px + q est positif ou négatif, suivant que l’on attribue à \ des valeurs non comprises ou comprises entre celles qui le rendraient nul.
Exemple. Soit le trinôme x' — 7x+10, qui devient nul quand on y fait x=b ou * = 2; tout nombre >5 ou <2 le rendra positif, et tout nombre >2 et <5 le rendra négatif.
En effet, x=G, 7, 8, ... donne A, 10, 18 ...,
x=l, 0, — 1, ... donne 4, 10, 18 .., ar = 3, 4, ...donne — 2, — 2....
2' Cas. Les facteurs sont égaux.
L'identité [1] devient
x* + par -f- 9 = (ar — x'f.
Quelque valeur qu’on attribue h la variable, pourvu qu'elle ne soit pas égale à x\ le produit sera positif, puisque le carré d’une quantité positive ou négative est essentiellement positif.
Exemple. — 4ar -f- 4 = (x-2)«.
x =—2, 0, 1,3, 4, 10, ... donne 16, 4, 1, 1, 4, 64, ....
3* Cas. I^s facteurs sont imaginaires.
Dans ce cas le trinôme a?-\-px-\-q peut se mettre sous la forme
Or, dans le cas des racines imaginaires de J'équation ar*-}-px + î=0,
la quantité ^ — ÿ est négative; donc la quantité y— ^ est positive; donc le trinôme se compose de deux parties positives, dont l’une, q — ne change pas, tandis que l’autre, (^+0 »
est positive pour toute valeur de x^différente de — 5. Pour la
DEâ TRINOMES DT SECOND DEOHE.
Taleiir de j; = — cette première partie devient nulle; donc
le trinôme a une valeur positive plus grande que q — ^ en gé-
néral, et égale à q — ^ si l’on donne à « la valeur particulière
Exemple. Le trinôme — 8x + 17 = (x — 4)*+ 1*
x = — 2,— 1, 0, 1, 2,3, 4,5,... donne 37, 26, 17, 10, 5, 2, 1,2 ...
28tf. Passons maintenant au trinôme général flx* + éx-|-c. Nous a\ons idcntiqueinent
[IJ rtx’-|‘éx4-c=o(x — *’Xx — x").
1” x' et x’ sont réels et inégaux.
Pour toute valeur de x non comprise entre *' et x’, te produit (x — x'){x — x") est positif ; donc le trinôme a le même signe que a ; mais pour toute valeur comprise entre x' et x*, le produit (x — x')(x — x') est négatif ; donc le trinôme a un signe contraire à celui de a.
2" Si x’=x’, le produit (x — x'Kx — x") devient (x — x’/; donc le trinôme sera toujours de même signe que a, excepté pour x=x', qui le rend nul.
3“ Si x' et x' sont imaginaires, on a 5* — 4oc<0, et le trinôme prend la forme
On voit alore que le facteur compris entre les crochets est une quantité essentiellement positive ; par conséquent, le trinôme a toujours le même signe que a, et sa plus petite valeur absolue
correspond à x = —
Conclusions générales.
28«. En résume, 1” lorsque les valeurs de x, propres à annuler le trinôme ox’-f- bx j-c, sont réelles et inégales, toute valeur
370 PROPItlÉTÉS
de X comprise entre ces deux valeurs donne, pour le trinôme, un résultat de signe contraire au coefficient de son premier terme; toute valeur de x non comprise entre ces deux valeurs donne, pour le trinôme, un résultat de môme signe que le coefficient du premier terme. 2° Lorsque les valeurs de x propres à annuler le trinôme sont égales, ce trinôme sera constamment de même signe que le coefficient du premier terme, et pourra devenir égal à zéro. Enfin, 3° lorsque les valeui's de X propres à annuler le trinôme sont imaginaires, le trinôme est constamment positif ou négatif, suivant que le coefficient du premier terme est positif ou négatif.
Autre manière de résumer la discussion.
287. Étant donné un trinôme du second degré dont le premier terme est positif, pour que ce trinôme ait une valeur positive, il faut et il suffit que x reçoive une valeur qui ne soit pas comprise entre celles qui annuleraient le trinôme. Si les valeurs qui annulent ce trinôme sont imaginaires, on pourra donner à X telle valeur qu’on voudra, et la condition sera remplie. 11 en sera de même si les valeurs qui annulent le trinôme sont égales, excepté pour la valeur qui annule le trinôme.
Pour que ce trinôme ait une valeur négative, on donnera à x une valeur qui soit comprise entre celles qui annulent le trinôme; mais si ces valeurs sont égales ou imaginaires, il sera impossible de satisfaire à cette condition.
Si le premier terme du trinôme était négatif, on aurait, sous les mêmes conditions, des résultats de signes contraires à ceux qu’on vient d’indiquer.
Applications numériques.
280. Exemple I. Trouver les valeurs de X propres à rendre nul, positif ou négatif le trinôme 2x* — 6x -f- 2 ,
Les valeurs propres à le rendre nul sont a; = 2, a: = J.
Les valeurs propres à le rendre positif sont plus grandes que 2 ou plus petites que
Les valeurs propres à le rendre négatif sont plus grandes que i et plus petites que 2.
DES TRINOMES Dü SECOND DEGRÉ. 371
Exemple II. Trouver les valeurs de x propres à rendre nul, positif ou négatif le trinomeiZ — 2x — 3x’,
Les valeui^ propres à le rendre nul sont « = é(l + v/^) et
Les valeurs propres à le rendre positif sont celles qui sont comprises entre les valeurs précédentes, telles que3;2;l-o- . — 1;— 2; — 2,3; .... ’ ’ ’
Les valeurs propres à le rendre négatif sont celles qui sont au-dessus de + v^), telles que 3,2; 4; 5; 6; ..., et ceUes
qui sontau-dessousde4(l— teUes que— 2,5; —2,6; —3;
Exemple III. La seule valeur propre à rendre nul le trinôme Qx—a*—9 est a;=3; toute autre valeur le rendra négatif, et aucune valeur ne le rendra positif.
Exemple IV. Aucune valeur ne rendra négatif ou nul le trinôme a;*— 8» -f- 17; toute valeur de x le rendra positif.
Des pins grandes et des plus petites valeurs d'un trinôme du second degré.
