Soit a?+px-\-q=z{x—af){x—ai

Les facteurs sont réels et inégaux ;

Supposons, pour fixer les idées, que l’on ait 1“ Pour toute valeur de x plus grande que xT, et par conséquent plus grande que x’, les deux facteurs sont positifs; d’ailleurs, ils deviennent d’autant plus grands, que la valeur attribuée à X devient elle-même plus grande , et comme il s’évanouit pour x=ar, il s’ensuit que le trinôme croit indéfiniment à partir de x—x”, et qu’il peut, comme chacun de ses facteurs, dépasser tout degré possible de grandeur ;

' 2» Si on donne à x des valeurs plus petites que af, les deux facteurs deviennent négatifs, mais le produit e.st le même que celui de (x' — x){x^ — x)\ 5 mesure qui x diminue, même en prenant au besoin les valeurs négatives, les fadeurs augmentent; et quand x prend des valeurs négatives très-grandes, ils deviennent cuxroiêmcs très-grands, de telle sorte que le produit finit encore par dépasser tout degré possible de grandeur;

PROPRIETES

<lonc le produit qui est nul pour x = x’, croit indéiinimcnt à mesure que a: décroît, et il devient + * pour x= — « ;

3* Si X reçoit des valeurs comprises entre x' et a^’, le trinôme qui devient négatif, ne peut pas prendre une valeur absolue aussi grande qu’on voudra, puisque les deux facteurs ne peuvent devenir ni l’un ni l'autre infinis. En effet, en mettant le signe en évidence, le produit peut se mettre sous la forme — {x — x')(af — x), et sa valeur absolue est {x — x'){x"—x)‘, or, la somme des deux facteurs est x“ — x', et par conséquent constante, donc le produit aura sa valeur maximum quand les deux facteurs seront égaux (239); ce qui donne x—x'=x'' — x, d'où x = {{x'+af). Telle est la valeur absolue pour laquelle le produit (a; — x'){3if — x) est un maximum, de telle sorte que le produit — (x — «')(a/' — x) est un minimmn ainsi que le trinoine proposé.

Les facteurs sont égaux :

Le trinôme devient égal à (x — x')’; il est positif, quel que

soit x; son minimum est 0 correspondant à x = x'= — |, et

il croit indéfiniment de 0 à -{- oo quand on fait varier x depuis x' jusqu’à -|- « , et depuis x' jusqu’à — oo .

Les facteurs sont imaginaires :

Le trinôme peut s’écrire (a^ + f) +(y-^*); H n’y a pas

de maximum, puisque le premier terme peut croître indéfmi-

ment , et le minimum est ç — ^ correspondant à x = —

Quant au trinôme ox*-f-àx-l-c,|conime il revient à o(x*-|-/>x-}-g), les conclusions seront exactement les mômes si a est positif; mais, si a est négatif, on obtient des résultats de signes contraires.

Nous remarquerons néanmoins que 1* dans le cas des racines réelles et inégales, le minimiun est remplacé par un maximum ; 2* dans le cas des racines imaginaires, le résultat est toujours négatif, et le minimum est remplace par un maximum, dont la valeur est aussi négative.

Remarooe. Les propriétés des trinômes du second degré ont été déduites de la décomposition d'un trinôme en facteurs du

KES TRINOMES DC SECOND DEORB.

premier (legrt^ , dôcomposUion qui, cllo-ménif , dépend delà résolution de Téquation du second degré que l’on ohlicnl quand on égale ce trinôme à zéro.

Résolution (les inégalités du second degré.

280. Les propriétés des trinômes du second degré permettent de résoudre les inégalités du second degré à une inconnue.

En effet, toute inégalité du second degré peut se mettre sous la forme

Pour la résoudre on égalera le premier membre à zéro, et si !• l’on trouve des racines réelles x', a!', on pourra le mettre sous ta forme

La question sera ainsi ramenée à considérer les signes des facteurs x — x', x — x", ce qui ne présente aucune difficulté.

2“ Si les racines sont égales, on aura

Le signe sera toujours celui de a, excepté pour x—sf.

3° Si les racines sont imaginaires , le trinôme prend alors la forme

r/ , é\* . 4oc —

La quantité placée entre crochets est essentiellement positive, et tout dépend du signe de a.

Exemple I.

donne

il faut (|(i’on ait

— 3(aJ— 6x-f 8)>0,

— 3(x— 2)(x-4)>0, ar>2 et x<Z.A.

Ainsi, on peut prendre pour x tons les nombres compris entre 2 et 4. Si x devait (Mre entier, il n'y aurait qu’une sotution ar = 3.

374 PROPRIÉTÉS DSS TRINOMES DU SECOND DEGRÉ.

Exemple II. — 3(ar*— 6x+8)<0,

on aurait — 3(ar— 2)(x— 4)<0.

A cause du facteur négatif — 3, les deux autres facteurs devraient être de même signe, ce qui exige que l’on ait a; <2 ou a; >4. a: = 7, a:=— 6, par exemple, résolvent l’inégalité proposée.

Exemple ID. a^— 2a:-f-2>0.

Les racines sont imaginaires; on peut écrire

Toute valeur de x satisfait à la question. Si on avait x‘ — 2x + 2<0,

l’inégalité n’aurait pas de solution, et le problème serait impossible.

PROBLÈ)HS SDH LES MAXIMA ET LES MINIMA.