CHAPITRE X

DE QUELQUES PROBLÈMES SUR LES MAXIMA ET LES lOXIMA DÉPENDANTS DE LA RÉSOLUTION DTJNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ.

SOMMAIRE

291. Problème loodamental. Partager un nombre donné en deux parties dont le produitsoit un maximum. —292. Règle. Application. — 29S. Rapprochement entre la question précédente et la construction d’un rectangle dont on connaît le produit et la somme des dimensions. Manière de partager une ligne donnée en deux parties dont le rectangle soit le plus grand possible. De tous les rectangles isopérimètres, le carré est [le maximum. — 294. Moyen de partager une quantité donnée en n parties dont le produit soit un maximum. — 295. Trouver la valeur de m qui rend le trinôme æ* — Rm -f 42 un maximum ou un minimum. — 296. Trouver, s’il y a lieu, le maximum ou le minimum

de la fraction — 297. Chercher le maximum ou le minl-

mum de la fraction ^ . Maximum relatif. Minimum relatif.

— 298. Décomposer un nombre donné en deux facteurs dont la somme soit un maximum ou un minimum. Règle, — 299. Partager un nombre donné en deux parties dont la somme des racines carrées soit un maximum ou un minimum. Règle. — .100. Conception d'une méthode générale. — 301 . Assigner les valeurs de æ pour lesquelles l’expression

■ devient un maximum ou

un minimum. — 802. De quelques définitions générales. Ce qu’on appelle quantité variable ou simplement variable. Ce qu’on appelle quantité constante ou simplement constante. Quand dit-on qu’une variable est fonction d’une autre. Ce qu’on appelle variable indépendante. Notations. Ce qu’on entend par une quantité infiniment petite ou par un infiniment petit. Ce qu’on entend par une quantité infiniment grande ou par un infiniment grand. Ce qu’on appelle limite. Le caractère d’une limite

PROBI.KMES

est d'élreune quanlité constante. Limite d'une quantil<i infiniment petite. Ce qu'on entend par la continuité d’une fonction. Ce qu'on entend par une fonction qui est continue depuis a Jusqu’à 6.

Problèmes sur les maxlma et les mlnlma.

S91. PnoBLàifB roNDUiSNTM.. Partager un nombre donné 2a en deux parties dont U produit soit un maximum.

Soit X rune des parties; 2a — x sera l’autre; leur produit sera 2oa: — x*.

Désignons ce produit par m, et nous aurons

iax — a?’ = m,

ou [l] X* — 2aar-f-m=0,

d’où X = a±v^a* — m ;

X doit êtrertfe/, ce qui exige que a* — m soit positif, et par conséquent que la quantité variable m ne surpasse pas a*; le maxinnun de m s’obtiendra donc en posant

d’où

Telle est la valeur maximum du produit. Dans ce cas le radical s’évanouit, et il vient x=a, par suite 2a — a:=a, ce qui montre que les deux parties de la somme sont égales, et que le produit maximum est égal au carré de la moitié du nombre proposé.

En conséquence,

99S. Pour partager une quantité donnée en deux parties dont le produit soit le plus grand possible , il faut la partager en deux parties égales, et ce produit maximum est égal au carré de la moitié de la quantité donnée.

Rbmibqux. Ce principe , implicitement renfermé dans ce qui a été dit au 838 , avait déjà élé démontré à la remarque II du n° 239.

•St'R I F.S MAXtMA RT I.KS MIMMA. 377

Apti.igation. Partager 12 en deux parties dont le produit soit maximum.

La moitié de 12 est 6 ; le produit de 6 par 6, ou le carré de 6 est 36, donc 36 est le maximum cherché.

Les décompositions suivantes du nombre 12 en deux parties, rendent manifeste que le produit devient d’autant ptus grand que les deux facteurs différent moins l’un de l’autre, et qu’enfin ce produit atteint son maximum dès que les deux facteurs sont égaux entre eux.

12 = 114-1 donne 12=10 + 2 12= 9 + 3 12= 8 + 4 12= 7 + 5 12= 6 + 6

11 Xl = ll, 10X2 = 20, 9X3 = 27, 8X4 = 32, 7X5 = 35, 6X6 = 36.

Rapproebement entre la question précédente et la construction d'un rectangle dont on connaît le produit et la somme des dimensions.

993. Le problème précédent n’est autre que ce problème de géométrie : Partager une ligne donnée 2a en deux parties telles que le rectangle de ces deux parties soit équivalent à tin carré donné c*.

Il suffirait, pour le résoudre , de remplacer dans la question précédente m par c*, ce qui donnerait

£2] x=a±^of — c*.

• Cette valeur pouvant être considérée comme provenant de la resolution des équations

x + y = 2o, xy = c\

qui sont symétriques par rapport aux inconnues, la formule [2] donne d’un seul coup les deux dimensions du rectangle cherché.

1* Si l’on a c<a, les racines de l’équation [1] sont réelles et inégales; e’est-à-dire que les deux dimensions du rectangle

PROBLÈMES

sont inégales. Effectivement, si l’on se reporte à la construction géométrique du problème , le côté du carré est moindre que la moitié de la ligne donnée, et la parallèle auxiliaire coupe la circonférence décrite sur cette droite comme diamètre. Il y a plus, la parallèle coupe cette circonférence en deux points, ce qui , de prime abord , donne un second rectangle ; mais on prouve que les deux dimensions de l’un sont respectivement égales aux deux dimensions de l’autre, en sorte que les deux rectangles, étant égaux, il n’y a pas de raison pour prendre l’un des points d’intersection plutôt que l’autre. Cette identité des deux solutions géométriques correspond h l’identité des deux solutions algébriques communes aux équations [3] , par suite de la symétrie que nous avons remarquée.

2» Si l’on a c=a, les racines sont égales et de tnéme signe, c’est-à-dire que les deux dimensions du rectangle sont égales, auquel cas ce rectangle devient un carré identiquement égal au carré proposé.

EfTectivement, la parallèle auxiliaire de sécante qu’elle était est devenue tangente; les deux points d’intersection se sont alors confondus en un seul , et la droite qui projette le point de contact sur le diamètre, passe par le centre du cercle, et partage ce diamètre en deux parties égales.

Enfin, 3° si l'on a c > a, les racines sont imaginaires, c’est-àdire qu’il n’y a plus de rectangle. Quant à la géométrie, on voit que la parallèle qui, parvenue au point de contact, était dans le cas extrême de sa rencontre avec la circonférence , n’a plus de point commun avec elle; comme d’ailleurs, la possibilité de la question est subordonnée à l’intersection de la droite et du cercle , le problème est impossible.

Ainsi, dans le cas d’impossibilité, l’algèbre répond par des racines imaginaires, et la géométrie par une rencontre de deux lignes qui devrait se faire, et qui ne se fait pas. La construction géométrique rend parfaitement compte , comme on le voit , des circonstances diverses qui accompagnent la résolution des équations du second degré.

CoxsÉouxNCE : De <oms les rectangles isopérimètres le carré est te maximum.

Remarode. Nous avons dit au problème H1 dun^îOS, que

Digilized l;, Coogte