SUR LES MAXIMA ET LES HINIMA

l’on pouvait toujours trouver deux nombres connaissant leur différence et leur produit.

Or, la résolution des équations

ar — y=fl, a;y=c*,

répond à ce problème de géométrie :

Construire un rectangle équivalent à un carré donné, et dont la différence des dimensions soit égale à une ligne donriée.

Effectivement, la construction géométrique du problème prouve que, dans ce cas, la longueur du cOté du carré n’est soumise à aucune limite.

Moyen de partager une quantité donnée en n parties dont le produit soit un maximum.

Le principe du n' 292 n’est qu’un cas particulier d’un principe général que voici :

204. Le produit P de n nombres positifs dont la somme est constante, est le plus grand possible, quand ces nombres sont tous égaux entre eux.

Démonstration. Soit

et a . b . c l . k = V.

1“ Chaque partie de la somme est moindre que S, donc 1e ’ produit P est moindre que S" ; il y a donc uneplus grande valeur pour P et nous disons que cette plus grande valeur correspond au cas où tous les facteurs sont égaux. En effet, supposons que P soit maximum et que deux de ses facteurs, a et è par exemple, soient inégaux; sans changer leur somme, et par conséquent la somme S , on pourra les remplacer par deux facteurs égaux

chacun à ^ - , et comme o . ô est plus petit que ■ ^

A Z» ià

P ne serait pas un maximum comme on le suppose.

On peut encore dire :

Laissons constants tous les facteurs moins deux ; le produit

PROBI.KMES

Oe CCS deux fadeurs doit tMre un maximum, mais leur somme est constanle, donc il faut que ces deux facteurs soient égaux ; on en dira autant pour tous les facteurs pris deux à deux; en conséquence ils sont tous égaux entre eux; chacun d’eux est égal à lu n™' partie de la somme; ainsi le produit

maximum sera

298. Trouver la valeur de a: qui rend maximum ou minimum l’expression — 8a: + 12.

Posons x —

d’où ar=4±v^4+m.

Si l’on a »n>0, le radical est réel.

Si l’on a »K<0, soit »»=—»»', le radical devient y/4 — m', donc m' doit être plus petit que 4, par suite on doit avoir *n> — 4; donc l’expression proposée est susceptible d’mi minimum négatif — 4, ce qui d’ailleurs s’accorde avec les propriétés des trinômes.

200. Trouver, s’il y a lieu, le maximum ou le minimum de lu fraction

Égalons cette fraction à m et nous aurons

7 — — 2oi’ — 2m-l-40

rn xz= 1~ : ;

décomposons en facteurs le trinôme placé sous le radical ; à cet effet , égalons-le à zéro.

ou [2] — 2(m’-fm — 20)=:0.

Les racines de l’équation [2] sont — 5 et -|-4, par suite le radical devient

Cela posé, toute valeur positive de m plus petite que 4 rend le

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SUR LES tlAXIMA ET LES MIMMA.

radical réel, el toute valeur positive plus grande que 4 rend le facteur 4—»» négatif et par conséquent le radical imaginaire; donc m = 4 est un maximum.

Si l’on attribue à m des valeurs négatives, le facteur m — 4 est négatif; multiplié par le facteur — 2, il devient positif; il faut donc qu’on ait ou »n> — 5; ainsi — 5 est un

minimum. On trouve les valeurs correspondantes de x en faisant dans le premier cas »n = 4 et dans le second m= — 5; ce qui donne a; = 1 et a; = — 2.

En résumé, la fraction proposée a un maximum 4 qui correspond à x = l; elle a un tniniimnn — 5 qui correspond à X = — 2. Cette fraction sem égale à 4 quand on y fera x = 1 , e t elle sera moindre que 4, soit qu’on fasse x plus grand ou plus petit que l’unité. La même fraction sera égale à — 5 lorsqu’on y supposera x=— 2, et elle sera toujours plus grande iwui toute autre valeur de x.

VÉRincATiox. x= — 2 fraction = — 5,