RÉDUCTION DES TERMES SEMBLABLES

Soit le polynôme a +

On peut I* permuter deux termes additifs consécutifs; 2“ un terme additif et un terme soustractif consécutifs; 3" deux ' termes soustractifs consécutifs ; 4’ un terme soustractif et un terme additif consécutifs ; enfin , 5® on peut écrire dans tel ordre qu’on voudra les termes de ce polynôme.

Car, dans le premier cas, on a, en vertu de l’addition des polynômes, augmenté a de et, dans le second, de c-|-é, ce

qui est évidemment la môme chose; d’ailleurs , les opérations ultérieures sont restées les mêmes de part et d’autre ; donc les deux polynômes sont équivalents.

Car, en écrivant a -f- b — d au lieu de a 6-f- c — d on a écrit un résultat trop faible de c, donc il devient exact en écrivant a'-\-h — d -|-c; par suite, les deux polynômes sont équivalents.

Car, d’après la soustraction des poljTiomes,

u-\-b-\-c—f—d=:a-\-b-]rC—{f-\-d)r -■ -

or, d-|-/’=i /■-!-</, donc, etc...

Car, en écrivant a-j-6-f-c — d-\-g au lieu de a-|-è-(-c — d—f-\-g, on a écrit un résultat trop fort de f ; donc il devient exact en écrivant a-f-6-l-c — d-\-g — f\ par suite, etc.

- 5* Puisque l’on peut changer de place deux termes consécutifs quelconques sans altérer la valeur du polynôme, on peut facilement par des inversions de ce genre faire occuper à chaque terme telle place qu’on voudra, et par suite permuter à volonté les termes de ce polynôme.

26 JlftWCrtON DBS TBBMBS SIMBUBLB8.

ApplicatioH. 8«* — a* 9a* — lOo’ + 16a* — 2a*

= 8o* 4- 9a* + 15rf — — lOtt* = 21 . O*.

Mais présentmcnt on ne pourrait pas écrire

car 10 ne peut pas être soustrait de 8.

Des termes semblables dans un polynôme.

40. Définitions. I. Dans un polynôme, on appelle termet tem~ blahles entre eux , ou simplement termes semblables , des termes qui, abstraction faite du signe et du coefficient, renferment les mêmes lettres respectivement affectées des mêmes exposants.

Exemple. Dans le polynôme

les termes 3o*6, 2o*6 et— o*6 sont semblables entre eux; les termes — 56*c et 66*c sont aussi semblables entre eux, mais dissemblables aux précédents. ' ’

SO. 11. On appelle réduction une opération qui a pour objet (le diminuer le nombre des termes d’un polynôme sans altérer sa valeur.

Exemple 1. Réduire le polynôme 10a*6*4- i5o*6* 4- 7a’ô*.

Ce polynôme équivaut à 32a*6*. En effet, 10 quantités égales h a*6* , plus 15 quantités égales à a'6*, plus 7 quantités égales à 0*6’, font 10 plus 16 plus 7, ou 82 quantités égales à a*6*, donc

En conséquence,

Kl. Règle. Pour réduire à un seul terme tous les termes additifs semblables d'un polynôme, on fait ta somme des coefficients, et l'on écrit à la suite la partie littérale commune.

Exemple II. Réduire le polynôme

RÉSDCTION D<8 TERMES SEMBLABLES. £7

D’après la 80U8tra£tioti de* polynômes on peut écrire lOoV + 1 6o*6* -t- 7aV— (3a*d* -}- 8o*é* + 2o*6*) ;

ou , d’après le cas précédent ,

Or, 32 fois la quantité a*6*, moins 14 fois la quantité a*6*, font 32 fois moins 14 fois, ou 18 fois a’ô’ ; donc,

En conséquence,

sa. Règle. Pour soustraire l’un de l'autre deux termes semblables, on retranche le plus petit coefficient du plus grernfi, et l’on écrit à la suite la partie littérale commune.

Remaboue. On rejetterait l’emploi du polynôme, si la somme des coefficients des termes soustractifs , surpassait la somme des coefficients des termes additifs, parce qu'alors la soustraction serait impossible.

Réduire le polynôme

Intervertissant l’ordre des termes, il vient :

12a»6* — 4aôc* -f babe -f 10a*6» -f 15d»6» + 7o*6» — 3o*6» — o*6>

ou, d'après la règle de la soustraction des polynômes ,

12a»ô* — 4a6c*4-5a6c-|-(lÛo’6»-)-l6<^6»-|-7o»6») >

polynôme de la forme ' ' ■ .

A et B désignant respectivement l’ensemble des termes semblables additifs et soustractifs , et P désignant le monome ou le polynôme provenant des termes dissemblables aux précédents.

Or, les polynômes A et B pouvant être réduits chacun ù un monome que nous désignerons respectivement par a et 6, lé , polynôme proposé prendra la forme P -j- a — 6, Cela posé, si