SUR LES MAXIMA ET LES UINIMA
toute quantité assignable; ainsi, la question est susceptible d’un ininünuin seukment. La valeur de x correspondante au minimum est a;= ; par suite , - = /ô. Done ,
OC
Pour décomposer un nombre donné en deux facteurs dont la somme soit un minimum, il faut le décomposer en deux facteurs égaux, c’est-à-dire extraire sa racine carrée; et cette somme minimum est égale au double de cette racine.
200. Problème. Partager un nombre donné 2a en deux parties dont la somme des racines carrées soit un maximum ou un minimum.
Soit X* l’une des parties; 2a— a:* sera l’autre; par suite, nous aurons successivement,
ar — mx — o-f- Y=0,
m±isjia — m*
m est soustractif, donc il y a un maximum et pas de minimum. 4a — >«’=0
donne m — 2v^.
A partir de iyfâ, m pourra décroître indéfiniment. La valeur de X correspondante au maximum, est x—\ja d’où a^=a, par suite 2a — x’ = a. Ainsi ,
Pour partager une quantité en deux parties dont la somme des racines carrées soit un maximum , il faut la partager en deux parties égales-, et cette somme maximum est égale au double de celle racine.
SOO. Remarque. A la faveur des exemples précédents, il est aisé de concevoir la généralité de la méthode pour trouver le maximum ou le minimum d’une expression proposée en x.
1° On égalera cette expression h une indéterminée tn;
2° On fera disparaître les radicaux et les dénominateurs;
PROBLEJlII^:»
3” Si l’un parvient ainsi à une équation du second degré en x on la résoudra ;
4° Si sous le radical on trouve un trinôme du second degré en m , on cherchera la condition à laquelle m doit satisfaire pour que ce trinôme devienne imaginaire; les valeurs liinites correspondront en général à des cas de maximum ou de minimum, soit absolus, soit relatifs;
5° Il en sera de même si ou a sous le radical une fraction dont les deux termes soient du second degré en m ;
6* Plus généralement encore la méthode s’appliquera si l’on peut parvenir, par un moyen quelconque, à décomposer la quantité soumise au radical en facteurs réels du premier degré ou <iii second degré, parce que ces derniers se décomposeront aussi en facteurs d’après les propriélé's des trinômes, ce qui |)crmettra de faire la discussion des signes des divers facteurs.
301. Exemple. Assigner les valeurs de a; pour lesquelles l'expression
devient un maximum ou un minimum.
Posons
2x’ — 4x — 1 ± vx* — 4x* -4- üx* — 2x -f- 1 x’ — 2x
isolons le radical
Élevons au carré
„ 2x»-— 4x— 1 , C2x»— 4x— 1)« X*— 4x*-|-5x’— 2x-fl X*— 2x (X* — 2x/ (X* — 2xJ’
ou
x«— 2x ~ (X* — 2xf
Observons maintenant qu’on serait porté à tout réduire au dénominateur commun (x’ — 2x)*, ce qui amênci-ait une équation du quatrième degré eu x qu’on pourrait ne pas savoir traiter; mais si l’on avait seulement un dénominateur commun
