SUR LES MAXIMA ET LES MINIUA

du second degré en x, l'équation ne monterait aussi qu’au second degré; il convient donc d’examiner si la fraction

3x‘— lax’-f-yx'-l-Kte {3?—2xY

est susceptible de simplifications. D’abord les deux termes sont divisibles par x, ce qui la ramène à

3a;»— 12æ» + 7j-}-10 — 2a:)(aj — 2)

cl comme le numérateur n’csl plus divisible par x, nous exaniinerons s’il est divisible pai’ x — 2 ; en faisant la division , elle réussit et l’on trouve pour quotient exact 3«*— &r— 5, de telle sorte que la fraction devient

par suite la dernière équation se réduit à

, „ 2a:* — ir — 1 , 3r* — 6a: — 5 „

qui donne successivement • -i. ^ ^

' OT* — 4m -f 3

Actuellement, faisons la discussion.

Pour m<Ct les quatre facteurs sont négatifs cl le radical est réel. Pour m> 1 et <2 , il y a un facteur positif et trois négatifs; le radical est imaginaire, donc m=l est un ma.\imum qui répond d’ailleurs à x = ±« ,

Pour 7«>-2 et <3 le radical est réel ; m = 2 est donc un minimum qui répond d’ailleurs à x = 1 ; de même, m=3esl un maumum qui répond 5 x—àica , cl »n=4 est un minimum qui répond à x = 1 .

PROBLÈMES

Cela posé , si dans l’expression proposée, nous faisons *=1 , nous trouvons — = -H 2 = ^ manière que 1 expres-

sion qui correspond au signe supérieur oflrc le minimum 2 , tandis que l’expression qui répond au signe inférieur offre le minimum 4 ; pour * = « , l’expression proposée prend la forme

” ; mais, si l’on divise préalablement haut cl bas par x’

qui est essentiellement positif, et pur x* sous le radical, on trouve :

faisant converger x vers

on trouve

de manière

qu’avec le signe supérieur on a le maximum 3, et qua>ec le signe inférieur on a le maximum 1,

Pour donner plus de précision aux notions (jui se rattachent aux trinômes et aux maxima et minima , nous croyons devoir donner ici des définitions dont on comprendra d’autant mieux toute l’importance que l’on pénétrera davantage dans l’étude des mathématiques.

De quelques déÜBiUoiu générales.

302. 1° On appelle quantité variable, ou simplement variable, une quantité qui peut prendre diverses valeurs , soit dans un calcul, soit dans un raisonnement.

Par opposition, on appelle quantité constante , ou simplement constante , une quantité qui conserve la même valeur , soit dans un calcul, soit dans un raisonnement.

2" Quand deux variables sont tellement liées entre elles que les changements de valeur de V une , entraînent des changements correspondants dans l'autre, on dit qu’elles sont fonction l'une de l'autre.

3“ On donne plus particuliérement le nom de variable indépendante à celle des deux dont les valeurs déterminent celle de l'autre qui prend alors le nom de fonction.

SITR LES MAEIMA ET LES MINIUA.

Ainsi, X élanl une variable indépendante (jui pourra prendre une suite de valeurs quelconques , toute variable liée à celle-là de manière à prendre des valeurs correspondantes, sera une fonction de x. On a l’habitude de représenter de semblables fonctions par fi^x), F(x)..,, f(x)^..

4° l/ne quantité infiniment petite, ou simplement un infiniment PETIT, est une vabublb gui n’a dans le calcul que des valeurs trèspetites et susceptibles de devenir plus petites que toute quantité donnée.

5° Une quantité infiniment grande, ou simplement un infiniment GRAND, est une varublb qui ne reçoit dans le calcul que des valeurs très-grandes, capables de surpasser toute quantité donnée.

6“ On appelle umite d’une variable une constante dont la variable peut différer d’une quantité moindre que toute quantité donnée. Pour indiquer une limite , on se sert de la notation lim. Ainsi, lim. x = a indique que la limite de x est a.

Si a; est une quantité infiniment petite, on aura par la définition lim. a; =0.

7“ Une fonction est dite contince dans le voisinage d’une valeur attribuée à la variable, quand pour cette valeur et pour une valeur infiniment voisine, la différence entre les deux états de la fonction peut devenir moindre que toute quantité donnée.

Quand cette condition est remplie pour toute valeur attribuée à la variable entre deux quantités a et b, on dit que la fonction est continue depuis a jusqu’à b. Si le nombre a est 0, et si b peut devenir infini, on dit que la fonction est continue de 0 à « ; si, au contraire , a peut prendre une valeur négative , et si à est O, on dit que la fonction est continue de — « à 0 ou de 0 à — <» ; enfin , si clic est continue pour toute valeur de x, on dit qu’elle est continue de — « jusqu’à « .

EXTRACTION