ET EXPOSANTS FRACTIONNAIEBS NÉGATIFS

(#=vWi

or n" = v^o” ,

(a=)']=(J/H^>=v'ïrï;

par suite V \® V = Vv^«"' = '7a*’'’ = o*» = o"

4° yo^ = y^o'’='v/o'=o'^ = o* .

En consi'qucnce,

Le» règles du calcul des exposants fraetionnaires sont les mêmes que celles du calcul des exposants entiers, positifs ou négatifs.

Des exposants fractionnaires négalib.

3SS. De même que la division de deux quantités affectées d’exposants entiers positifs nous a conduits à des exposants entiers négatifs, de môme aussi la division de deux quantités affectées d’exposants fractionnaires positifs peut conduire h des exposants fractionnaires négatifs; cela aura lieu lorsqu’on appliquera mécaniquement la règle de la division au cas où

l’exposant^ du diviseur sera plus grand que l’exposant ^ du dividende , puisqu’alors on aura une fraction négative — (y

pour exposant du quotient, et comme on a ramené le calcul des exposants entiers négatifs à celui des exposants entiers positifs, on pourra encore généraliser les règles en ramenant le calcid des exposants fractionnaires négatifs à celui des exposants fractionnaires positifs.

Il suffit pour cela de concevoir que, dans les calculs du n° i60, les lettres m et n, affectées du signe — , représentent des fractions, au lieu de représenter des nombres entiers.

Remarque I. On pourrait donner une autre origine aux exposants fnactionnaires négatifs.

408 EXPOSANTS FRACTIONNAUIES POSITIFS

Kii l'ffel, piiisqiio ri^ciproquemonf,

Il suffit donc de diviser l’cxposanl négatif — mn par l’indice de ta racine à extraire; mais quand cette division ne sera pas possible, elle conduira à un exposant négatif fractionnaire.

Exemple. V^Â^ = A~3.

Si l’on interprète les exposants fractionnaires négatifs de cette manière, on retombe sur les mêmes règles que précédemment. Nous ne nous y arrêterons pas.

Remarque H. Dans certains cas, pour élever un radical à une puissance, on peut diviser l’indice du radical par le degré de la puissance (327); mais si cette division n’est pas possible, clic donnera un indice fractionnaire, et l’on pourra établir le calcul des radicaux à indices fractionnaires en remontant à l’opération même qui leur sert d’origine. Mais comme ici la notation artificielle serait plus compliquée que le résultat naturel, il y a désavantage h l’employer.

Remarque générale. Le calcul algébrique a successivement passé par des extensions sur lesquelles nous avons eu soin d’insister chaque fois qu’elles se sont présentées. Ce calcul a atteint, comme on le voit, un très-haut degré de généralité. Le coefficient, par exemple, qui dans l'origine était entier, est devenu successivement fractionnaire ci même imaginaire. Mais la généralisation la plus frappante est celle qui concerne l'exposant : d’entier qu’il était, il est devenu successivement entier négatif, fractionnaire positif, et enfin fractionnaire négatif; il y a plus, l’étmle de l'algèbre supérieure apprendra que la notation exponentielle est souvent imaginaire.

Ces généralisations progressives, et que nous avons dû légitimer avec un soin scrupuleux, naissent toutes de la nécessité de renfermer le plus grand nombre possible d’idées particulières sous une même dénomination, sous peine de renfermer la science dans des limites qui nuiraient û son développement. C’est d’après ces considérations que s'est trouvée introduite la théorie des quantités négatives, théorie qui a fait faire de