KL

xy=p, [b — y)z=i/ et (o — x)(e— î)=p';

ory+l«v|-cÿ-(-d=:0, a'y:+6'y-|-c'*-Hl'=® et o"zx4-6'ï-t-c".r-fd'=0 ; •^‘ + y* + -*=fr; or+o'y + o'ï = 0 et 6x+6'y+6'î = 0;

Vi. Résoudre les équations

^ + V^g. 3.yzrê4— J-v^— v'^=0;

3 + yx

"\Jl^ - i-y/| + «-Jv'10j; + 5fi=0;

V j'+v'î=20 (on posera x=y') ; .t* — 7.r’ = *51 li (on posera a^=ÿ);

yST + l+y/a: — I =6 (on posera x—\=u*]\

v'3j + 1+vJ^+3=6 (on posera J + 3 = u’; on arrivera à une équation du troisième degré qui admet 2 pour racine, ce qui permettra d’achever le calcul).

VU. Trouver c dans l’équation (u-|-6a;+c=:0 , sous la condition y~|-x**=m* ; écrire immédiatement les racines de l’équation

a*x* -)- (2ac — 6*)x -j- c* = 0 .

Trouver a dans l’équation x*-(-ax-|-3a=0 sous la condition quo x' = 2x*, et en général x' = mx*.

Trouver q dans l’équation 6x’ — 50.r-f-q = 0 sous la condition quo x'=ix''; résoudre px-f-q= — x’ en complétant le carré dans le premier membre; quelle valeur faut-il attribuer à a dans les équations simultanées x*-t-5ax + a*=0 et x’-|-a*®-f- Va=0 pour qu’elles aient une racine commune; conditions pour que ox*-|-6x-|-c soit un carré parfait. (On posera ox*-|- 6x-f-c = (mx-f- fl)*.)

Composer une équation différente de 3x* — 6x-|-1 =0 et qui cependant ait les mêmes racines; condition pour que les deux équations ox* -j- 6x -|- c = 0 et o'x’ -f- 6'x’ -j- c' = 0 aient les mêmes racines. Condition pour que les racines do l’équation ,r*-(-px-(-q=0 soient entre elles

m : n. (On représentera les racines par nix etnx.) Cas des racines égales. L’équation ox* -(- 6x -4- c = 0 peut-elle avoir une racine commensurable et une racine incommensurable? x'=a-f-^/6, que conclure, en supposant que a, 5, c soient des nombres rationnels? x'=*-(-PV^ — 1» que

conclura en supposant que a, h, c soient réels? Composer une équation du second degré qui ait une racine réelle et une racine imaginaire. L’équation étant formée, chercher ses racines. Exprimer la somme des carrés des racines de l’équation Æ*-|-px-|-ç=:0. Deux méthodes. Même question pour la somme des troisièmes puissances. Évanouissement du second terme do l’équation ar’4-6u;-f-c = 0. La transformation est-elle toujours possible. Évanouissement du troisième terme. Condition pour que l’équation a;*-f-px*-)-q = 0 ait ses quatre racines réelles; ses quatre racines imaginaires (sans résoudre l’équation). Condition pour que la différence des racines de l’équation ou;*-|-6x-f-c = 0 soit égale à 2; pour que l’une des racines soit double de l’autre. Trouver a dans l’équation oo;’ — 5x — i =0 sous la condition que les deux racines soient égales. — Trouver p dans l’équation o;*-|-pj:-|-IO=0 sous la condition que la somme des deux racines soit égale à 20. Prouver, par l’emploi des imaginaires, que (o*-(-6*) (c'-f-rP) est la somme de deux carrés. Dans l’équation ox’-Ko — 1)or-|-a’=0 trouver a de manière que la différence des deux racines soit égale à 7. L’équation x*-|-px-|-9 = 0 est supposée avoir ses racines réelles; pet 9 sont entiers; l’équation peut-elle avoir des racines fractionnaires?

VIII. Quel 'est le nombre qui surpasse de 16 le seizième de son carré? Quel est le nombre qui est égal à la somme des deux chiffres de son carré? (Riponie : 9.)

Trouver trois nombres tels que leur produit divisé successivement par leurs sommes deux à deux fasse des nombres donnés 200, 150 et 120. Trois nombres font ensemble 83 ; si l’un soustrait 7 du premier et du second, les restes sont enlre eux : : 5 : 3 ; si l’on soustrait 3 du second et du troisième, les restes sont enlre eux ;; 11 : 9. Quels sont ces nombres? La somme des carrés de deux nombres vaut 102 fois la différence do ces nombres; la différence de ces nombres est le quart de leur somme ; trouver ces nombres. Partager 4 en deux parties telles que le cube de la première soit inférieur au carré de la moitié de la seconde de quatre unités. — Partager le nombre a en deux parties telles que le carré de la première soit au carré de la deuxième II tni n. — Trouver un nombre dont le carré augmenté du cube soit égal à trois fois \ le carré de ce nombre. — Trouver trois nombres en proportion continue dont la somme des extrêmes soit 156 et le moyen géométrique 72. — Partager |J en deux parties dont le produit soit |. — La différence des cubes de deux nombres entiers consécutifs est 37. Quels son ces nombres? — Trouver deux nombres tels que la somme de ces nombres, leur produit et la différence de leurs carrés soient trois nombres égaux. — Quoi est le nombre dont le cube surpasse la quatrième puissance des } du cube du nombre cherché? — Trouver quatre nombres qui soient en proportion arithmétique et en proportion géométrique. — La somme des carres

de trois nombres est /742 ; lorsqu’on augmente respectivement ces nombres de 3, 7 et 10, les nouveaux nombres sont :: 3 ; 7 ; 10. Quels sont ces nombres? — Trouver une fraction telle que si on ajoute respectivement a et b à ses deux termes on ait la fraction renversée, et que si Ton retranche respectivement de ses deux termes c et d, la valeur de la fraction cherchée soit doublée. — Le rapport de deux nombres est celui de 3 à 13; leur produit est 14079. Quels sont ces nombres? — Partager 45 en deux parties telles que la plus grande soit égale au carré de leur différence. — Partager 20 en deux parties telles que l'une soit égale au carré de l’autre.

— La somme de deux nombres peut-elle être égale à leur produit? — Trouver un nombre tel qu’en l’ajoutant successivement aux quatre nombres 3, 10, 23 et 7, le produit des deux dernières sommes soit égal aux du produit des deux autres. — Partager o en moyenne et extrême raison.

— La différence de deux nombres est à leur somme : 1 2 : 3 ; leur somme

est à leur produit 3 : 5. Quels sont ces nombres? — Deux nombres sont entre eux ;; tn ; n; la somme de leurs carrés est S. Quels sont ces nombres? — Trouver trois nombres tels que les produits do chacun d’eux par lu somme des deux autres soient 20, 18 et 14. — Deux nombres sont entre eux : ; 2 : 3 ; on ajoute 1 au plus petit; on retranche 8 du plus grand, et les racines carrées des nombres ainsi formés différent entre elles d’une unité. .Quels sont ces nombres? — Trouver quatre nombres en proportion connaissant leur somme, celle de leurs carrés et celle de leurs cubes. — Trouver un nombre tel que son carré soit au produit des différences de ce nombre à deux nombres donnés a cl b — La somme de deux

nombres est 20; la somme de leurs logarithmes tabulaires est 2. Quels sont ces nombres? — La somme des carrés de deux nombres est 7; la somme de leurs logarithmes est J. Quels sont ces nombres? — On donne la somme (a) des carrés do deux nombres et le résultat (b) que l’on obtient en multipliant leur produit par ce produit diminué de 2e. Quels sont ces nombres? — La différence de deux nombres est 2, leur produit multiplié par leur somme est 12. Quels sont ces nombres? {1 est racine de l’équation du troisième degré.) — Un particulier achète un cheval qu’il revend pour vingtquatre pièces de 20 francs, et à ce marché il gagne autant pour cent quo le cheval lui a coûté de piècees de 20 fr.; trouver le prix d’achat.

IX. Partager un nombre donné en doux parties telles quo la somme do leurs carrés soit un maximum ou un minimum. — Décomposer un nombre donné en deux facteurs dont la somme soit un minimum. — Quel serait le point le moins éclairé par deux lumières si l’intensité de la lumière variait en raison inverse de la simple distance. — Partager un nombre donné en doux parties telles que la somme des quotients de l’un par l’autre soit un

maximum ou un minimum. — Limites de la fraction — , — . — .

JC — oX 1 •»

(Maximutn rclalif i. Miniuium 3. Valcuis correspondantes de x, 2 et 3.)

— Maximum de f Maximum Valeur corros-

X* \ iab

pondante de x, 1 . — Maximum ou minimum de — ■ — ^ — ! — .

fx>0, (v'o + V^)* minimum. Valeur correspondante do x\/ab; X < 0 , (v/ô — V 6)* maximum. Valeur correspondante de X,— \/a6).

— Trouver deux nombres dont le produit soit p et tels que la somme des carres des nombres obtenus en augmentant chacun de ces nombres de a soit un minimum.

X. Trouver un triangle rectangle dont les côtes soient trois nombres entiers consécutifs. — Quelle doit être la hauteur d’un cône dont le côté est 3 pour être équivalent à une sphère dont le rayon est 1 . (Trouver l'équation.) — Calculer le côté d’un triangle isocèle tel qu'en tournant autour d’une droite donnée comme base, ses côtés engendrent une surface en somme équivalente à celle d’un cercle donné. — Les trois angles d’un triangle forment une proportion continue dont la raison est J. Quels sont ces angles? Valeur maximum de l’angle d’un triangle pour être moyen géométrique entre les deux autres. — Connaissant la corde d’un arc, calculer la corde d’un arc double. — Inscrire dans un cercle donné une corde telle qu'en tournant autour du diamètre qui passe par son extrémité, elle engendre une surface équivalente à celle d’un cercle donné. — Sur une sphère dont le rayon est 3, calculer la hauteur d’une calotte sphérique numériquement égale au segment de sphère compris entre elle et sa base.

— Calculer les trois médianes d’un triangle en fonction des trois côtés et vice versa. — Trouver le poids d’une sphère ; 6 est le rayon et 2 la densité.

— Dimensions d’un cylindre dont on donne la surface latérale et le volume. — Id. sachant que la hauteur est égale au rayon do la base, et que ce cylindre est équivalent à une sphère donnée. — Trouver la hauteur d’un cône : la base est de 13 décimètres carrés, le poids est de 50 kilogrammes et la densité est 3. — Calculer le rayon d’une sphère sur la quelle on puisse placer une zone do trois mètres de hauteur et de dix mètres carrés de surface. — Inscrire dans un cercle un rectangle équivalent à un carré donné. — Couper la surface latérale d’un cône ou d’un tronc de cône en deux parties équivalentes par un plan parallèle aux bases. — Partager un triangle en moyenne et extrême raison au moyen d’uno parallèle à la base. — Problème analogue pour la zone. — Diviser un cercle en moyenne et extrême raison à l’aide d’un cercle concentrique. (Doux problèmes.) — Trouver l’aire do lu base d’un cône connaissant son volume et sa hauteur. — Un rectangle étant donné, y inscrire un triangle qui en soit la moitié. — Partager un Ira^ièze en doux parties équivalentes par une parallèle aux bases. — Couper une sphère de ma-

nière que le volume du segment situé d’un côlé du plan soit équivalent au cône qui a même base que le segment et son sommet situé au centre de la sphère. — La surface d’un rectangle est m’; son périmètre est 2p. Quels sont ses dimensions? — Trouver le rayon de la base d’un cône connaissant son arête et la surface totale. — Partager la surface latérale d’un cône par deux plans parallèles à la base en trois parties qui soient : ; t ; 2 : 3. — Rapport du côlé du décagone au rayon du cercle circonscrit. — Décagone étoilé. — Construire un triangle isocèle tel qu’en tournant autour d’une base donnée, il engendre un volume équivalent à la sphère dont cette base serait le diamètre. — Inscrire un carré dans un triangle donné. — Con naissant la base, la hauteur et la somme des carrés des deux autres côtés d’un triangle , trouver ces côtés. Même problème en remplaçant la somme des carrés par leur différence. — Sur une sphère donnée calculer la hau' tour d’un segment à une base, connaissant la surface totale de ce segment. — On donne la hauteur d'une zone à deux bases et les rayons des bases; trouver le rayon de la sphère. — Trouver la surface latérale d’un cône connaissant son volume et sa hauteur. ~ Quel est le polygone qui a 35 diagonales. — Tangente commune à deux cercles donnés. — Calculer le côté d’un carré connaissant la somme du côté et do la diagonale. — Id. connaissant la différence. — Le périmètre d’un triangle rectangle ^ <56; sa surface est <01 4. Quels sont ses côtés? — Trouver sur un plan le point également éclairé par trois lumières. — Trouver lo point d’une droite ou d’une courbe située dans un même plan avec deux lumières et qui en soit également éclairé. — Trouver le point de l’espace également éclairé par quatre lumières données. — De tous les cônes ou cylindres qu’on peut inscrire dans une sphère, quel est celui dont la surface latérale est un maximum ou un minimum ? — Dimensions du cône minimum circonscrit à une sphère donnée. — La hauteur d’un segment de sphère à deux bases étant constante, comment doit-on la placer pour que le volume du segment soit un maximum ou un minimum? — La base d’un, triangle est donnée ; déterminer sa surface sous la condition que le triangle en tournant alternativement autour des deux autres côtés, engendre deux volumes respectivement équivalents à des sphères données. — Trouver le rayon do la base d’un cône dont on connaît la surface totale et le côlé. — Inscrire un prisme droit dans une pyramide triangulaire dont la base est un triangle équilatéral, sous la condition que sa surface latérale soit un maximum. — La surface d’un rectangle est S ; on diminue un côté de a et l'autre de 6, ce qui diminue la surface de p; quelles sont les dimensions de ce rectangle? Applications. S=66, o=3, 6 = 2, p = 32; S = 32, o = <0, 6=6, P =30.

Remarque. Nous terminerons le livre Vil par une question que nous proposons aux élèves dans le double but de les exercer et do résumer

EXicnciCES. '417

sous leurs yeux les généralisations successives par lesquelles on a fait passer le calcul algébrique.

Mulüplier.

y/3xï+v^v^ + iJ— (l f (3— 2 V^)

par *-f-2-f-(l -j-v^ — l)x * — (2y^^)x^ — \/3x’.

On réduira les exposants do .r dans les deux facteurs à leur plus petit diviseur commun ; on ordonnera par rapport aux puissances descendantes de x; on mettra le coefficient zéro devant les termes qui manquent aGn que le décroissement des exposants soit en progression par diiïérence. Le produit une fois obtenu (voir ce produit ci-dessous), on le divisera par le multiplicande et le quotient devra être égal au multiplicateur. Nous rappellerons à cette occasion que lorsqu'il s'agit de polynômes entiers, la division n’est possible qu'autant que le premier terme de chaque reste est divisible par le premier terme du diviseur ; mais lorsque , comme dans l'exemple ci-dessus, il y a des coefGcients et des exposants fractionnaires, ainsi que des exposants négatifs , on n’est arrêté ni par la division du coef- Gcient, ni par la soustraction des exposants ; on ne rencontre d’impossibilité que lorsqu’on est conduit à écrire au quotient un terme dans lequel l’exposant de la lettre principale est moindre que celui du dernier terme du dividende, diminué de celui du dernier terme du diviseur; parvenu là, il est impossiblede termincria division; le butde l'opération est alors delrouver un polynôme qui, multiplié par le diviseur, donne un produit qui diffère du dividende proposé d’une expression d'un degré moindre que celui du diviseur.

6x“— 8x'*— 3v'3x’-f-2y'3x*-f iv^x* — 2(3 3x

— 3v'=T)x‘-f-(4 4- iv/^) x'i-f (-3-|-7/^x*-(-2v/3x‘

- (* +lv/3 -|-( * v/3 -f- 4)vCTÏlx‘'-(2 4-2 v^x" -f

-f(* — 2y/2 — v/'^)x““— (5— v^-fV — «Ix 4-(« 4-i /^)®'^-(W2- (2 4- v^)/iTT]x"«-(v/3 - v^/:=n)x'‘

— 2x'»> 5 ‘ - J(< - 7v^x' • 4- (ivi 4-

- {< -1-/^)» •— îv'îx •*.