CHAPITRE PREMIER

APPLICAIION DE L’ALGÈBRE A L’ARITHMÉTIQUE EN CE QUI CONCERNE LA DIVISIBILITÉ DES NOMBRES, LA THÉORIE DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR, LES NOMBRES PREMIERS, LE PLUS PETIT MUL- TIPLE, ET LES FRACTIONS IRRÉDUCTIBLES.

SOMMAIRE

.%5H. But de l'application de l'algèbre à l’arithmétique. — S3G. Écriture d'un nombre dans un système quelconque de numération. — 337. Théorèmes et problèmes sur les nombres. — 338. Intervertissement dm facteurs d'un produit. — 339. Conséquences. — 340. Caractères de divisibilité.— 341. Divisibilité d’un nombre par les diviseurs de B-f-t. — 342. Divisibilité d’un nombre par un nombre donné. — 343. Simplification de la méthode précédente à l'aide des quantités négatives. — 344. Démonstration d'un théorème sur la multiplication. — 348. Du plus grand commun diviseur. — 346. Simplification du procédé à l'aide des quantités négatives. — 347. Des nombres premiers. — 348. Décomposition d'un nombre en facteurs premiers. — 349. Recherche du plus petit nombre qui admet vingt-quatre diviseurs. — 380. Des fractions irréductibles et des fractions périodiques. — 381. Du plus petit multiple par la méthode du plus grand commun diviseur. — 382. Problèmes divers sur la combinaison de la somme, de la différence, du quotient, du plus grand commun diviseur et du plus petit multiple de deux nombres.

333. L'application de l'algèbre à l'arithmétique a pour but , soit de simplifier, soit de généraliser certaines questions sur les nombres.

APPLICATION DE l’aLCÈBRE A l’aKITUMÉTIQLK. 419

Les généralités de l'arithmétique s’établissent à la faveur de l’emploi des lettres et des transformations relatives aux égalités, aux équations et aux inégalités.

Manière d’écrire un nombre dans un système quelconque de numération.

350. Problème fondamental, ün nombre N est écrit dans le système de numération dont la base est 10 ; l'écrire dans le système dont la base est B ; B étant un nombre entier positif quelconque, au moins égal à deux.

Sitpposoiis le prohième résolu ; soient a, b, c, d , les

cliiffres du nombre N écrit dans le nouveau système. I.es unités des différents ordres dans ce système formeront, par convention, une progression géométrique dont la raison est B, d’après cela, nous aurons :

N = a + ftB + cB* + dB*-|-

ou N = a + B(64-cB4-rfB»+ )

B est plus grand que chacun des chiffres a, b, c, d ; donc

si l’on divise N par B , le quotient sera 6 +

et le reste sera a , ou le chiffre des unités simples ; cherchons le chiffre des unités du second ordre; posons

Q = 6 + cB-f dB«4-

ou Q = 6 + B(e + rfB + )

Cette égalité montre que si on divise Q par B , on aura pour quotient c + dB -f- et pour reste b.

Posons encore

Ü' = c+dB,

divisant Q' par B, on aura d pour quotient et c pour reste; or d est plus petit que B, donc l’opération est terminée; car, si on divisait d par B , on aurait 0 pour quotient et d pour reste , c’est-à-dire le chiffre des plus hautes unités du nombre proposé.

application

Voici le type du calcul :

1 Q iJ.

Remaroite. On voit par là que tous les nombres écrits dans le système décimal peuvent être mentalement remplaces par des nombres équivalents, et écrits dans un système quelconque de numération; pour exprimer cette transformation nous dcsi- Kiierons par a, h, c, d.... les chiffres des unîtes des differents ordres àl nombre pris dans toute sa généralité; quant aux fractions, il suffirait d’en écrire les deux termes dans le système de numération que l’on considère.

Théorèmes et problèmes sur les nombres.

557. Théorème I. La somme de plusieurs multiples d un nombre est un multiple de ce nombre.

Exemple. 24, 12 et 8 sont des muiliplesde 4; leur somme est

un multiple de 4. , „ , i- i i,,

Fn effet 4 divise par hypothèse 24, 12 et 8 ; les quotients de

la division .le ces nombres par 4, sont donc des nombres entiers, ce qui donne lieu aux égalités suivantes .

Ajoutant membre à membre, et mettant 4 en facteur commun il vient :

24 + 12 -1- 8 = 4 X(6 -f- 3 -t- 2) = un multiple de 4.

Plus généralemen't, soient N, N', N". • • • • • • entiers quelconques écrits dans le système dont la base est B,

DE I.’aLCBBRE a L’ABITHMÉTIOrE. 421

et tous multiples d’un même nombre P ; on aura :