N" = PU

d’où N + N'+N"+ =Px(Q + 0'+Ü"....},

ce qui démontre le principe énoncé.

CoNSÉQCESCE. Si N = N'= N’'= la sommc N -f- N'+ N" -f-... devient un multiple de A; donc, tout nombre qui en divise un autre, divise tous les multiples de ce nombre.

ThéofiSme II. La différence de deux multiples d'un nombre, es un miUtiple de ce nombre.

Exemple. 36 et 8 sont des multiples de 4 ; leur diiïérence est un multiple de 4. - ,

En clTet, 36=4x9, ■ ■ • ■

8=4X2; JÜ ' ’

-4 rt’-.

d’où 36 — 8 = 4x(9 — 2)= un multiple de 4. r ‘

Plus généralement , N =PxQ '

N'=PXQ'

d’où N— N'=Px(Q— U').

CossÉQüEN'CE. Si une somme est composée de deux parties , tout nombre qui divise la somme et l’une des parties divise aussi l’autre partie.

Soit N=N'+N" et D un nombre qui divise N et N' ; ce môme nombre divise N" puisque

cl que tout nombre qui en divise deux aulres divise aussi leur dilTérencc.

APPLICATION

La proposilion peut être établie a priori ;

Or, g est un nombre entier; il en est de môme de g- ; il faut

donc que D divise N", sans quoi un nombre entier serait égal à un nombre fractionnaire.

Remarque. Le reste de la division de N par D est le môme que celui de N" par D; or, N" n’est qu’une partie de N ; donc, quand on voudra connaître le reste de la division de N par U, on cherchera celui de la division de N" par D.

Cette remarque sert de base à la recherche des caractères de divisibilité.

Inlerverlisseinent des facteurs d'un produit.

558. Théorème UL La valeur du produit de plusieurs nombres est indépendante de l'ordre dans lequel s’effectue la multiplication de ces nombres.

Ce principe est démontré en arithmétique aux numéros 81 et 52. En voici la démonstration algébrique. Commençons d’abord par examiner le cas le plus simple de la question; celui dans lequel le produit ne renferme que deux facteurs.

aXô = frXa.

En effet, a — t ~|" t -j- 1 -j- ....

.Multipliant les deux membres de cette égalité par b et observant que l’unité est répétée a fois, il viendra

remarquons encore que

aX*Xc = aXeX6,

c’est-à-dire que dans unproduit de trois facteurs on peut c/ianffer l'ordre des deux derniers facteurs.

DE I.’ALr,ÈBRK A L’aRITHMÉTIOCB. 423

En ciïet, O x^»=a + « +<»+••••

d’où oXùXc = aXc-t-aXc-l-<*Xe+---ou oXùXc = aXcX&.

Cela posé , prouvons que si l'on ne change pas la valeur du produit de m facteurs en y intervertissant l'ordre des facteurs, il en sera de même d'un produit m -|- 1 facteurs.

1" Si les deux produits PXn cl P'Xa, composés chacun de ffi-j-l facteurs sont terminés par le môme facteur, ces deux produits sont égaux, puisque par supposition P = F;

2° Supposons que les deux produits Pxa cl P'xc ne soient pas terminés par le même facteur; P' renferme m facteurs dont a fait partie; or, quelle que soit la place qu’occupe ce facteur, on peut l’écrire en dernier ; P' prendra alors la forme p'x«, p' étant le produit de m — 1 facteurs dont ne font partie ni a, ni c;on peut donc écrire Fxc=p'XaXc=p'XcXa=p'Xo, p" désignant le produit de m facteurs parmi les(iuels ne se trouve pas a ; on est donc ramené au cas où les deux produits de m facteurs sont terminés par le même facteur, ce gui démontre le principe énoncé.

Conclusion'. Le produit d’un nombre quelconque de facteurs ne change pas de valeur quand on intervertit l’ordre de ces facteurs.

En effet, la proposition a été démontrée pour deux facteurs; donc elle est vraie pour trois; étant vraie pour trois, elle est vraie pour quatre, et ainsi de suite, donc elle est générale.

Une question se présente : la proposition précédente est-elle encore vraie pour des produits renfermant des facteurs incommensurables? Celte question n’est qu’un cas particulier d’une autre plus générale : tous les principes rigoureusement établis pour des nombres commensurables , sont-ils vrais pour des nombres incommensurables? (Voir la note sur les incommensurables qui se trouve à la lin de l’ouvrage.)

Remaroi e. La démonstration précédente, quoique plus simple que celle que nous avons donnée en aritlimélique, y serait cependant déplacée, parce qu’elle repose sur un mode de raisonnement, qui apparlicnt spécialement à l’algèbre. Un des moyens les plus surs de réussir en mathématiques , est de conser-

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APPUI :ati<»'

ver à chacune de ses parties le caractère qui lui est propre, et de comparer attentivement les méthodes diversement employées dans chacune d'elles.

Conséquences du principe de l’inlerverlissemenl des facteurs d'un produit.

359. Conséquence F. Multiplier un nombre par un produit , revient à multiplier par les facteurs de ce produit.