PX(ABCD....) = P\BCD
En effet , P X (ABCD....) = (ABCD....) X P,
ou PX(ABCD....)=PABC[)....
Reuarqi:e I. Ce principe est fort utile dans le calcul arithmétique, puisqu’il sert à remplacer une multiplication comi>oséo, par des multiplications simples.
Exemples. Nx 72 = NX8X9,
N X360 = NX 4X9X10.
Remarque II. Celte propriété peut servir à vérifier le produit de deux nombres, lorsqu’on aperçoit facilement les facteurs du multiplicande ou du multiplicaleur.
Remarque III. Puisque P x(ABCD....)= PABCD...., on peut écrire en renversant l’égalilc
PABCD.... = PX(ABCD)
Donc , multiplier par les facteurs successifs d'un produit, revient à multiplier par le produit effectué des facteurs de ce produit.
Conséquence II. Multiplier un produit par un nombre , revient à multiplier l'un quelconque de ses facteurs par ce nombre.
Exemple. Soit P = ABGDE
Multiplier P par N, revient à muliiplicr un facteur quelconqtie C , par exemple , par N ; en effet ,
A X B XCr. X N) X D X E....,
DE l’algèbre a L’aRITHMÉTIOGE.
rovicnl succcssiveinenl à
AXBXCXNXDXE...., AXBXCXDXE....XN, ou à P X N ,
ce qui démontre le principe énoncé.
Conséqorncb lit. Dans un produit de plusieurs nombres on peut grouper les facteurs dans tel ordre qu'on voudra, et en tel nombre qu'onvoudra, pour ensuite multiplier ces groupes de facteurs les uns par les autres.
Exemple. Le produit AxBxCxDxExFxT. xH, revient à (H x A) X (E X G X C) X (D X F X B).
En effet , d’après la conséquence I, on peut écrire
HxAxExG XCXDXFXB;
or, ce produit équivaut au produit proposé, donc le principe énoncé est démontré.
Théorème IV. Diviser un nombre par un produit effectué, revient à diviser ce nombre successivement par chacun des facteurs de ce produit. (On suppose que toutes les divisions se font exactement.)
Exemple. N : (A x B x C X D x E xF) =N : A : B : C : D.
Soit Q le quotient de la division de N par AxBxCxDxExF, on aura
N = (AXBXCXD)XQ.
Actuellement , effectuons les divisions successives indiquées ci-dessus :
ITTg
APPUCATIOK
Cela posé , on aura successivement ;
Qs = DxQ.,
Q. = CxÛi=CxDxQ4,
Qi=BxQi = BxCxDxQ.,
N = AxQi = AxBxCxDxO*.
Ainsi , d’une part , N = (A'x B X C X B) X 0 ; d'autre part, N = (AxBxCxD)xQ4;
donc Q = Q*; or, Q =N : (AxBxCxD),
Q4 = N: A:B;C:D, d’où N:(AXBXCXD) = N; A;B:C:D.
Remarque. Ce principe est fort utile en aritliméticpie , puisqu’il permet dans certains cas de décomposer une division en plusieurs autres.
Exemples. N;72 = N:8:9, N : 120 = N : 10: 3: 4.
Cette propriété peut également servir à vérifier le quotient de ta division de deux nombres, lorsqu’on aperçoit facilement les facteurs du diviseur.
Caraclères de divisiliilitc.
540. Défixition. La reelierclic d'un caraclirede divisibililé a pour objet de trouver la relation qui doit exister entre les chiffres d’un nombre donné pour que ce nombre soit exactement divisible par un autre nombre donné.
Cette question, eu partie résolue en arithmétique, va recevoir ici toute l'extension dont elle est susceptible.
Problème I. Proposons-nous, par exempte, de chercher le caractère de divisibilité d’un nombre écrit dans le système décimal par tes diviseurs de la base plus vn de ce système. La base plus un du système décimal est le nombre premier 11 ; ce diviseur est donc le seul h considérer dans le cas aetiiel.
DE L’aLGÈBBE a L’ABITHMâTIOCE. 427
Soit pour fixer les idées, le nombre quelconque 86574, il l:iul exprimer que ce nombre est écrit dans le système dont la base est 10; de là l égalité suivante :
Cela posé, reportons-nous à la remarque du n° 537, et nous serons naturellement conduits à transformer les puissances de 10 ; to*, 10’, 10*...., de manière à les rendre chacune divisibles par 11 ; or, n étant un nombre entier quelconque, les expressions 2« et 2n 1 seront, l'une la formule des nombres pairs, et l'autre la formule des nombres impairs-, mais, d’après les principes du n" 83, 10*" — 1 et 10*"+‘-|-l sont des expressions divisibles chacune par 10-j-l ou par 11; nous sommes ainsi amenés à diminuer d’une unité les puissances paires de 10, et à augmenter d’une unité les puissances impaires de 10 ; dans le premier cas, le multiplicateur du produit des deux nombres aura été diminué d’une unité, il faudradonc, par compensation, augmenter leur produit d’une fois le multiplicande; dans le second cas, le produit devra être diminué d’une fois le multiplicande ; en conséquence, le nombre proposé se trouvera décomposé en deux polynômes ainsi qu’il suit :
La divisibilité de 86574 par 11 dépend donc de celle du polynôme 8 — 6-}-5 — 7-|-4; or, le principe de l’inversion des termes d’un polynôme ( généralisé à l’aide de la théorie des quantités négatives ) , nous permet d’ck:rire :
ou , d’après la règle de la soustraction des polynômes , (8+5-|-4)-(6-}-7);
ce résultat reproduit par sa traduction en langage ordinaire la règle qui a été posée cl démontrée en aritlunélique.
Remaroi’e. Une question se présente ; comment calculera-t-on le reste de la div ision d’un nombre par 1 1 , lorsque la somme des ebiffres de rang pair surpassera la somme des chiffres de
APPMCATIOX
rang impair? Une règle a été démontrée ccl égard en arithmétique; en algèbre, on trouve facilement le moyen de lever la diflicullé à l’aide des quantités négatives.
Exemple. Clicrcher le reste delà division de 8291 par 11. Désignons , pour abréger , un multiple de 1 1 par l’expression M .11, et nous aurons :
= M.ll+( —14)
= M.ll — 14.
Décomposons M . 11 en deux multiples de 11, dont l’un soit un multiple nécessaire et suffisant pour qu’il puisse être diminué de 14, et nous aurons
8291=M'.ll-f (22 — 14)
= M'.ll-}-8,
résultat qui prouve que le reste de la division de 8291 par 11 est 8.
La règle que nous avons donnée en arithmétique conduirait au mêim; résultat.
Divisibilité d’un nombre par les diviseurs de 6+ I.
541. La question précédente peut être résolue dans un système quelconque de numération; la parfaite identité des deux questions nous permet de donner, sans explications, ta solution du problème
N = deba '
N = -1- cB‘ -f ôB' -f- oB*
N f <«(B‘-f-l)-l-c(B*-l)-f t<B'-|-l)-fa(B»-l) l — d — b \-a
Donc
DE l’algèbre a L’AHlTUMÊTIyiE.
Divisibilité d'un nombre par un nombre donné.
342. Le problème précédent n’est qu’un cas particulier d’une ' question générale qui embrasse tous les cas de divisibilité : Vn nombre N étant donné, trouver la condition pour qu’il soit divisible par un autre nombre donné I).
D’après ce qui précède, tout consiste à trouver les restes de la division des puissances successives B°, B', B*, B\ . . . de la kise B par le diviseur proposé l) ; soient B, B', B", B”. ... ces restes successifs et observons que les nombres B", B' , B’, B’. . . . deviendront chacun divisibles par D si on les diminue respectivement de R, R', R", R". . . . D’après cela, il viendra successivement
N = deba
.N = tfB''4-cB’+6B‘-|-aB'’
d(B* -f dR'"
R*) -1- c(B> — R") -f é(B’ — R') -f fl(B» — R) -fcR" -t-ôR' -l-aR
Donc, le reste de la division de N par D«st le même que celui de la division du polynôme dR" -|- cR" -|- éR' -f- nR par D.
Application. Trouver le reste de la division par 7 du nombre 83274.
Réduisons t, en décimales.
Ces restes sont périodiquement ,
1,3, 2, 6, 4, .5, I, .3, 2, 6, 4, 5, etc.;
- par suite, le polynôme dlV" -j- cR" -|- éR' -(- aR ilonnc 79. L’ajt-
APPUCATION
plication de la même règle à 79 donne 30; or, le reste de la division de 30 par 7 est 2; donc 2 est le reste de la division par 7 du nombre proposé 83274.
Vérification. 83274 I 7
Remarocs. La comparaison des deux calculs prouve qu’il est plus simple de passer par le quotient pour ohlenir le reste de la division d’un nombre par 7, ce qui explique pourquoi les éléments d’arithmétique ne renferment que quelques caractères de divisibilité, quoiqu’il y en ail un pour tous les nombres.
SimpliflcaliOD de la mclbode précédente b l'aide des quantités négaUves.
343. Convenons de forcer une unité sur le quotient , toutes les fois que le reste surpassera la moitié du diviseur, auquel cas le reste de la division sera négatif; il n’en faudra pas moins continuer à multiplier les chiffres du nombre proposé parla série des restes, positifs ou négatifs, U", R*', R', R; seulement, la somme dR^-fcR"-!- 6R'-j-aR deviendra une somme algébrique. Appliquons la solution ainsi modifiée à l’exemple ci-dessus.
Les restes de la division par 7 de 10», 10', 10’, 10*,. . . sont
périodiquement 1, 3, 2, — 1, — 3, — 2, ; par suite, il suffira
d’efl’cclucr les opérations suivantes ;
De
ôtons
reste
ÜE l’aluèbue a L'ARITHMÉTIOL'E. 431
Ainsi , on trouve 2 pour reste de la division comme précédemment.
Hemabqite. Cette méthode générale reproduirait pai’ son apl»lication les caractères de divisibilité par 9 et par 11.
Démonstralion d’un théorème sur la multiplication.
544. Si l’on divise deux nombres par un troisième , le produit des restes divisé par le diviseur donne le même reste que le produit des deux nombres proposés.
Soient deux nombres A cl B à multiplier entre eux; divisons-les respectivement par un même uombre P; il viendra :
