B = PQ +R

multiplions ces deux égalités membre à membre, et nous aurons :

AB = FQQ' + RPQ' -f PQR' + RR'.

Ce résultat nous montre que le reste de la division du produit AB par P n’est autre que le reste de la division du produit RR' par P; de là, l'énoncé du théorème.

Uu plus grand commun diviseur.

545. Nous avons posé et démontré la règle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, en vue de pouvoir rendre irréductibles des fractions données.

Cette question peut être reprise analytiquement. Soient A et B les deux nombres; on est conduit à diviser le plus grand par le plus petit; soit A>B; faisons la division

A IJB

La division ne se fait pas exactement ; donc B n'est pas le plus grand commun diviseur cherché; mais, la division précédente

•432 ArrucATiofi

élablit une relation entre les quantités A, B, Q, R ; cette relation A = BQ + R

va servir à terminer la solution du problème :

Tout nombre qui divise A et B divise R; réciproquement, tout nombre qui divise R et B divise A ; donc, le plus grand commun diviseur entre A et B est le même qu’entre B et R; la question est alors ramenée à opérer sur les nombres B et R romme sur les nombres proposés ; toutefois, la qucsiion est l>lus simple puisque l’on opère sardes nombres plus petits. Voici le type du calcul :

Conséquences. I. Tout commun diviseur de deux nombres divise leur plus grand commun diviseur (la réciproque est vraie).

II. Si on multiplie ou si on divise deux nombres p<ar un môme nombre , leur plus grand commun diviseur est multiplié ou divisé par ce nombre.

III. Pour reconuaitre si deux nombres sont ou ne sont iias premieis entre eux, il suflil de leur appliquer la mélbode du plus grand commun diviseur.

IV. Deux nombres sont premiers entre eux si, trouvant un nombre premier pour reste , ce nombre ne divise pas le reste précédent. Soit R” = 7 ; dq deux choses l’une ; ou R" divise R', ou R" ne divise pas R’; dans le premier cas, R" est le plus grand commun diviseur cherché, et l’opération est terminée; dans le second cas , R" est premier avec R', parce qu’un nombre premier est évidemment premier avec tout nombre qu’il ne divise pas; or , le plus grand commun diviseur entre R' et R" est le môme qu’entre A et B; mais R' et R" sont premiei’s entre eux , donc il en est de niôiue de A et de B, ce qui dispense de continuer l’opération.

DE l.'AU.EDItE A i/aHI rilMÉrii.M E.

Simplificalion du procédé du plus grand commun diviseur b l'aide des quantités négatives.

546. La considération des restes négatifs dans la mêthotle dit plus grand commun diviseur ne modifie en rien les raisonner ments du n» 342, et abrège souvent le nombre des divisions.

Application. Trouver le plus grand commun diviseur entre 48 et 18.

l" Calcul.

2' Calcul.

Des nombres premiers.

347. Théorème fondamental. Si un nombre 1* divise le produit de deux facteurs A et B; si ce nombre est premier avec ITin des facteurs A, par exemple, il divise l’iiutre facteur B.

Démonstration synthétioue. Les nombres A et P .sont, par supposition, premiers entre eux, ce que l’on exprime en disant (|ue leur plus grand commun diviseur est égal à Tunité. Ecrivons ces trois nombres sur une même ligne :

multiplions A et P par B, leur plus grand commun diviseur sci a multiplié par B ;