A=PQ +R

P=RQ'+R' )

R» = Rn+iQiw-s t •

Multiplions les deux membres de chaque égalité par B, nous

aurons ; ,

AB = PQB +RB

PB = RQ'B +R'B RB=R'0"B + R"B

R„B = R„+iQ„+,B + B.

Enfin, ilivisons les deax membres de chacune de ces égalités par P, afin d’introduire la condition que P divise AB, et il

viendra

RB R'Q"B I R R -]T— — P

R, B R„.,Qn^»B , B -pr — P -r p-

DE l’aLGEBHK a L’AmTUMÈTIQL'E.

Oi, chacune des quanlilés .... ^ est entière, donc

I di\isc B, ce qu'il fallait trouver.

Décomposition d’un nombre en facteurs premiers.

34B. Le f}j)e général de la décoiiiposilion d'un nombre en ses facteurs premiers, est N = a". 6*. c^.. et nous savons que ce système de facteurs premiers est le seul qui puisse reproduire le nombre donné.

Q désignant lu quotité des diviseurs tant simples que composes, c’est-à-dire tant premiers que non premiers , nous aurons ;

ü=(»»-hi)x(»-t-i}x(p4-i).

Cette formule est une conséquence de la manière môme'dont on trouve les diviseurs d’un nombre.

Cette quotité des diviseurs de N est paireoii impaire, selon que N n est pas un carré parfait, ou est un carré parfait.

L’emploi des formules met ce principe en évidence.

En effet, si N n’est pas un carré, son système de facteurs premiers est de la forme :

N = a*-+'xé*’'Xe*';

doù Q==(2n-f 2)x(2«-f-l)x(2;i-f-l) (nombre pairj.

Si N est un carré, N=a’"Xà*"'Xc*""; d’où Q=(2»-f-l)x(2n'-}-i)x(2»"-t-i) (nombre impair).

Recherche du plus petit nombre qui admet 24 diviseurs.

Ô49. La décomposition N = a-".ô^c^... est féconde en prôblemes. Proposons-nous le suivant : Trouver le plus petit de tous le.^ nombres qui admettent 24 diviseurs, tant simples nue composés. ‘

Supposons le problème résolu : soit N=a".6» cf le nombre demandé.

U’i'UCAllON

On veut que 24=(w + l)X(n+l)X(;)+l).-.-

— ï est inadmissible, car »«=0 donne a"=l.

II faut donc décomposer 24 en facleurs entiers autres que l’unité.

Soit

1 facteur ..

.. »/t+l = 24, d’où m=z2'3.

Soient

2 facteurs

Combinaisons seules possibles.