TO
>» + l=3, WJ + 1=4,
d’où
\ n=ll.
Soient
3 facteurs ....(m+1)x(»+1)XQ>4-I)=24.
d où
jp=3.
Soient 4
facteurs..,. (w+l)x(«+l)X(p-f-l)X(r+l)=:24.
' ni = -2,
d'où
DE I.’aMIÈBIIR a 1,’AnmiMÉTH.irE.
r.(')u pos<’“, ii esl (hidenl (jnc pour avoir le phis polit nombre possible dont le nombre de» diviseurs soit 24, il est nécessaire et snffis<ml que les facteurs premiers qu’on affectera des exposants m, n, p, r, soient les plus petits possible, et que parmi ces facteurs on attribue les exposants les plus forts aux facteurs premiers les plus petits. Kn conséquence , le nombre cherché est le pins petit iwirnii les suivants :
Donc 360 esl le nombre demandé.
Kkmarol'K. bc nombre 360, qui rappelle la grativation du rude , est le plus petit de tous les noml)res qui admettent 24 diviseurs; mais, est-ce le seul nombre de froi* chiffres qui admette 24 diviseurs?
Un calcul, plus long que difficile, conduit aux *eise nombres suivants qui admetlenl chacun 24 diviseurs :
el l’on voit encore que parmi ces nombres 360 esl le plus petit.
Ues (raclions irréduclibles el des (raclions décimales périodiques.
Nous n’avons rien à ajouter à ce que nous avons dit en arithmétique sur les fractions irréductibles. Quant à ce qui concerne le retour d’une fraction décimale périodique à sa génératrice, il ne nous semble pas possible de résoudre le problème plus simplement que nous l’avons fait, tant qu’on s’interdit la considération des limites comme moyen de solulion. La même queslion, résolue algébriquement, |)eut élre présentée ainsi
AfPLICATION
qu'il suit : si l’on considère une suite de fractions décimales , telles que 0,35627 ; 0,3662727 ; 0,356272727; .... fractions que l’on obtient en mettant 27 à la suite de chaque nouvelle fraction décimale ainsi obtenue , ou a une suite de fractions décimales en nombre indéfini; cette suite tend vere unc/i»n7e/î»u'c; car, quelque grand ejue .soit le nombre des chiffres décimaux qu’on emploie, on n’arrive jamais à l’unité, puisque le résultat reviendrait à une fraction dont le numérateur serait moindre que le dénominateur. .11 en serait de même si la fraction déci- * male se composait d’une partie entière et d’une partie décimale; par exemple, Icsnombrcs 19,35627; 19,3562727; 19,3.56272727;... qui reviennent à 1^-fO, 35627; 19-|- 0,3562727, etc. n’atteindront jamais 19 -|- 1 ou 20.
Cela posé, proposons-nous de trouver la limite /, vers laquelle tend la suite indéfinie des fractions 0,35627 ; 0,3562727; 0,3.56272727, etc., que nous désignerons |)ar nous
aurons
Multipliant les deux membres de cette égalité successivement par 100000 et par 1000; puis retranchant les égalités membre à membre , nous aurons successivement :
d’où
De même ;
Et en général.
Or, quand deux quantités variables sont constamment égales dans tous leurs états de grandeur j leurs limites sont égales; donc
lim /n = lim
' lim
^99000’ lO**"
DF L’AI.GiDRB A L'aRITHHÉTIQUE .
Or, la limile de /, est / ; d’ailleurs, le nombre invariable 35627 — 350 . , . ,
— ÿgÿÿô — lui-mCme sa limite; en outre ,
lim
Um^; mais lim:;75^ = 0
lorsque » tend vers l'infini, donc finalement J ce qu’il fallait trouver.
Du plus petit multiple par la méthode du plus grand commun diviseur.
Soi. Théorème. Le plus petit multiple de deux nombres est égal 1” au produit de leur plus grand commun diviseur, par les quotients de la division de ces nombres par leur plus grand commun diviseur; 2° au produit de l'un d'eux par le quotient de la division de Vautre, par leur plus grand commun diviseur; 3“ au quotient de la division du produit des deux nombres par leur plus grand commun diviseur.
Soient A, B les deux nombres proposas, D leur plus grand commun diviseur; Q, Q' les quotients respectifs de la division des nombres A et B par D.
M désignant le plus petit multiple de A et de B , les trois énoncés donnent :
M = DXQXQ',
M = AXQ' = BXQ,
L’identité de ces formules est facile à apercevoir, car A=DxQ,etB = DxQ'; attachonè-nous à démontrer fa pre mière.
On voit d’abord que BxQxQ' est un multiple de A et de B ; si nous faisons voir que tout autre multiple de ces deux nom-
* Le lecteur qui désirera approfondir ce sujet, pourra consulter un Iravaïl de M. Catalan , Inséré dans les Nouvelles Annales de Mathématiques,
Ai’Pi in\Tio\
bros, pst 1111 de DxOxU', le principe sera (U'montré;
or, tout multiple M’, «le A et «le B, est multiple de Bx U; «loue 3P=DxQxU''; ce même nombre M', ou son DxQxO", est
aussi un multiple «le Bon de DxQ'; donc - ^ ou
est un nombre entier, c’esl-à-dire que Q’ divise UxO"; or, 0' est premier avec Ü, d«>ncQ' divis«* 0"; par suite, 0"= U'xQ""; conséquemment, M = DQQ' xQ". C. Q. P’. D. ^
Remabouk. Tout multiple de deux nombres est multiple de leur plus petit multiple.
Problème. Trouver le plus petit multiple de plusieurs nombres donnés. Soient A, B, C, I), E les nombres proposés;
soit M le plus petit multiple de A cl B ; M', le plus petit multiple de M et C; M", le plus petit multiple de M' et U ; enfin, Hr, le plus pelit multiple de M" et E; M* est le plus petit multiple demamlé; car, l°M'"e.st multiple de.\,B,C,l», E. 2" Tout multiple de A, B, C, D, E est multiple de M".
En effet, M" est multiple de E et de M”; mais, M" est un multiple de D cl de M', donc M" est multiple «le E, D, M’, et par suite de E, D, C, B, A.
Réciproquement, tout multiple de A, B, C, D, E étant multiple de A cl B, est multiple de leur plus petit multiple M; donc
l'rnlilèmes divers sor la combinaison de la^omme , du produit, de la difTérence , du quotient , du plus grand commun diviseur et du plus |>elil multiple de deux nombres.
îtlS5. I. Trouver deux nombres qui soient entre eux 8; 10 ef (pli aient 12 pour plus f/rand commun diviseur.
Soient 8a; cl lOx les nombres cherchés ; 2x est leur plus grami commun diviseur; donc 2x = 12; «l'où x = 6; les nombres demandés sont par conséquent 48 et 60.
II. 6 est U plus grand commun diviseur de deux nombres ; 144 est leur plus petit multiple: quels sont ees nombres?
DE I.’aU'.ÈBBE a I/aBITHMÊTIoI E •iil
Soient a; et y les deux nombres, et 0, ü' b's qnolionts de la division de ces nombres par leur plus grand eommim diviseur; nous savons que l44=6xQxQ'; d’où QxQ— 24 ; la question est donc ramem'e à décomposer 24 en deux facteurs premiers entre eux; ov, 24=1X24; 24=2X12; 24=3X8; 24=4X6; donc, 1x24; 3x8 sont les seules décompositions qui ré- )H)ndcnl à la question. •
a:=6xQ; y=6XQ',
par suite les solutions du problème sont : 6 et 144; 18 et 48.
III. Le produit de deux nombres «<864, leur plus grand commun diviseur est 6 ; quels sont ces nombres ?
6a:X6y = 864 d’où 36a:y = 864
xy = 24, donc
IV. La somme de deux nombres est 66 ; leur plus grand commun diviseur est& \ quels sont ces nosnbres^
6x + 6y = 66 a;-}-y = ll; donc
V. Leproduit de deux nombres est 884 ; leur plus petit multiple est 144 , quel est leur plus grand commun diviseur Y
mais
donc
ainsi
144 = DX0X0', 864'=D0xDQ'
