CHAPITRE II
APPLICATION DE L'ALGÈBRE A L’ARITHMÉTIQUE EX CE QLT CONCERNE LES ÉQUIDIFFÉRENCES , LES PROPORTIONS, LES RÈGLES DE TROIS, DE SOCIÉTÉ, DE FAUSSE POSITION, LES PROGRESSIONS ET LES LOGARITHMES.
sommaire.
.'inS. Rappeler la délinition d'une équidilTérence et d'une proportion. — 584. Théorèmes fondamentaux des équidifférences et des proportions, Oonsr'-quences diverses. — 588. Règles de trois. — .586. Règle de so- ,riélé. — 587. Dos problèmes de fausse position d'alliage et de mélange.
— 51{8. Des progressions par différence et par quotient. Conséquences diverses. — 580. Somme des termes d'une progression par différence.
— 500. Somme des n premiers nombres impairs. — 5(!|. Table des
carrés par addition. — 5CÎ. Résolulion en nombres entiers de l'équation a;’ = ÿ* -)- s’. — 505. Application géométrique de la formule a:*=ÿ*-f- — 564. Autre application relative à la chute des corps. —
508. I.a progression t.3.5.7 est-elle la seule qui jouisse de la pro-
priété S=rr* quel que soit »i? — 500. Des problèmes relatifs aux progressions par différence provenant de la simultanéité des formules /=a-f-(n — 1)r et S=J(a-|-0n- — 307. Somme des termes d'une progression par quotient. — .560. Limite de la somme des termes d'une progression par quotient décroissante à l'infini. — .560. Principes relatifs aux puissances d'une quantité plus grande ou plus petite que l'unité. — 570. Des problèmes relatifs aux progressions par quotient
provenant de la combinaison des formules S = “
ou S
— .571. Des logarithmes. Conséquences. — .572. De
l'incommensurabilité des logarithmes. — .575. Recherche de la formule fondamentale des intérêts composés. — .574. Examen du cas où le nombre des années est fractionnaire. — .578. Problèmes numériques sur les intérêts composés. — 570. Recherche de la formule fondamentale des annuités. — 577. Problèmes numériques sur les annuités.
UK I.’a1.(,KURK \ L’Mtmi.«KTI'.«liE. H.")
— r>78. Autre point de vue sous lequel on peut envisager lee anouites.
— 579. Programme sommaire servant d’indication dans la manière du revoir l’arithmétique ainsi que les questions analogues en algèbre de façon à coordonner toutes les questions semblables. — S80i Exercices.
Des équidifférences et des proportions.
385. On appelle équidifférence l’assemblage de quatre quantités telles que la différence des deux premières est égale à lu > différence des deux dernières.
Celte différence est positive ou négative. ’
On appelle proporfton l’assemblage de quatre quantités telles (jue le quotient des deux premières est égal au quotient des deii.v dernières.
Ce quotient est positif ou négatif.
Théorèmes fondamentaux des équidifTêrences et des proportions.
384. Théorème. Dans toute équidifférence , la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens, et réciproquement.
Soit l’équidifférence a.bic.d.
D’après sa définition a — b=c — d.
Transposant les termes négatifs d’un membre dons l’autre, il vient
ce qui démontre le principe énoncé.
Réciproquement, si a-|-d = é-}-c, il y a équidifférence entre les ({uatre quantités a, b, e, d.
En effet , transposant les ternies b et d, il vient
on u.b'.c.d.
La délitiition de la pro|Kn tion ne dilTcraiil de celle de l'équi-
application
différence qu’en ce que lu soustraction est remplacée par une division , l’analogie fait voir que a . b : c .d donnant tt-\-d = b-\-c, a: b:: c : d donnera a'X.d = bx.e, c’est-à-dire que , dans toute proportion , le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. On peut d'ailleurs démontrer le principe en faisant les opérations corres|)ondanles à celles que nous avons exécutées à l'égard de l’équidiffércnce.
En effet
donne
Chassant les dénominateurs, il vient < aXd=àXc.
Réciproquement
donne
d’où
aXd — = c
c’esl-à-dirc que si le produit de deux quantités est égal à celui de deux autres quantités, ces quatre quantités peuvent former une proportion ayant pour extrêmes les deux facteurs d’un produit, et pour moyens les deux facteurs de t autre.
Remarque 1. Le théorème du n* 5di dont la réciproque est vraie se nomme le théorème fondamcnlal des équidiffércnccs , parce que de celle propriété on peut déduire toutes les autres.
La même observation s’applique au théorème des proportions.
Remarque 11. La démonstration précédente du principe des proportions est plus expéditive (pie celle que nous avons donnée en arithmétique , et cependant elle y serait déplacée pour plusieurs raiscins ; l.a première, c'est quelle n’exigerait aucun effort d’esprit; la .seconde, c’est que la démonstration serait en défaut si les termes de la proportion étaient fraction-
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. de l’aluèbre a 1,’abitiiuétioce. 447
naires, puisqu’en arithmétique les deux termes d'uuc fractioii sont des nombres entiers. ‘
Problème. Tiouver le quatrième terme d’une équidifférence, connaissant los trois autres.
Exemple.
donne
d’où
Pareillement
donne
Quant aux proportions, ['analogie suflfil pour permettre de poser
bc
ad ,
Problème. Insérer mie moyenne arithmétique entre deux nombres donnés a et 6.
Soit X cette moyenne. Par définition , x surpasse a d’autant qu’il est surpassé par 6 ; donc
d'où = « -t” 6
Quant à la moyenne géométrique , l’analogie donne immédiatement X = y/ax.b , c'est-à-dire que chaque opération est remplacée par l’opération immédiatement supérieure; ainsi, ['addition o-}-6 est remplacée par la multiplication ox6; la
division fLzL? est remplacée par ['extraction de la racine carrée
n/oX 6. . , .
lis
AI’l'UCATIU.N
IlEMARyrE. Si (le “ on relrauchc vrtX&> on lrou\c un rcsullal positif; donc
c’est-à-dire que la moyenne arithmétique est plus grande que la moyenne géométrique. Les deux moyennes seraient égales si l’on avait a = b. La géométrie met l’inégalité [1] en parfaite
évidence, puisque ° ^ - est une oblique au diamètre, tandis
(juc v'axi est une perpendiculaire (issue d'un môme i>oint) sur ce même diamètre.
L’analogie que nous avous remarquée à l’égard dos équidifférences et des propoi lioiis peut s'étendre aux projwrtions simultanées :
Exemple. Les équidilTcrences
donnent (a-j- a').(6-t-6') : (c + O .(rf-f-d'),
c’est-à-dire que l’on peut ajouter deux équidilTérences terme à terme ; par conséquent , les proportions
donnent aa! : bb' :: ce' : dd';
ce que d’ailloiu's on peut vérilier ainsi qu’il suit ;
aa’dd' = bl/cc', . ^
ou ad X a'cP — bc'><. b'c'.
Or, ad = bc, (z’d' = ô'c' ; donc
En conséquence, on |>cut multiplier des proportions terme à lermc.
dë l'alcèbre a l'arithmétique. 440
Lcü deux équidiffércnces
rt.fr : c.d a'.b'ic’.ie
dunnent
(rt — rt').(fr — fr') : (c — c').(d — (f);
donnent ^ ÿ * F
c’est-à-dire que'pouvant soustraire deux équidifférenccs terme à terme , on peut diviser deux proportions terme à terme.
On voit par là que l'on ne pourra pas toiÿours ajouter des proportions terme à terme; aussi, avons-nous fait connaître, au D° 8S9 de l’arithmétique, la condition pour qu’il en fût ainsi.
Rkharocs 1. Dans la théorie des proportions exposée en aritlimétique les quantités proportionnelles étaient essenticllcinent positives ; en algèbre, les termes sont positifs ou négatifs :
Ccl exemple fait voir que le premier antécédent d’une proportion peut être plus grand que son conséipienl, sans que la mènic relation ait lieu entre les deux autres termes de la proportion.
Remarque II. On a vu en arithmétique, que l’égalité des conséquents d’une proportion entraîne l’égalité des antécédents ; en est-il toujours ainsi dans les proportions algébriques ?
'■’ÜT’:
'Soit d’où Si
il vient
a : b :: c : d\ rtXd = frXe.
Toutefois, il est essentiel d’ohservcr que si , jnir suite d’une hypothèse particulière, les conséquents venaient à s’évanouir, auquel cas la suppression du facteur commun ne serait plus |K’r-
APPLIC.aiOW
mise, on ne pounail plus conduic que 6 = rf;dans ce cas, l’égalilé des antécédents ne serait pas une conséquence nécessaire de celle des conséquents.
Exemple. La proportion
ne donne pas nécessairement a = 6 , si l’on suppose que 1 on ait P —q=0.
L’omission de cette exception pourrait induire en erreur.
Exemple. On démontre, en géométrie, que tout triangle rectangle ABC dont on projette en D le sommet A sur l’hypoténuse BC, doime la proportion
ÂB* ; ÂC* :: BD ; DC.
Cela posé, on demande si la réciproque est vraie; on supiwse d’ailleurs que la hauteur AD tombe dans l’intérieur du triangle. A cet effet, la proportion
1^13 ÂB* : âE’::BD:DC,
donne successivement :
Aff-j-ÂC* : ÂB*-ÂC* BD-f-DC : BD-DC,
Â5*-j-ÂC*: ÂB'-ÂC*:: (BD + DC)*:(BD-DC)(BD-fDC), [2] âS*-|-ÂC* : ÂB*— Â(? :: BC* : BD*— DÛ*.
Or, les triangles rectangles BAD, DAC donnent ÂB*=ÂÜ*-f-5D*,
ÂC* = AD* -|- DC ,
a>où âF-âc*=bd*-dc.
L’égalité des conséquents de la proportion [21 conduit à ÂB'-t-ÂC‘ = BC*; pai- suite, le triangle BAC est rectangle en A. .
DE l’algèbre a l’arithmétique.
Soit actuellement un triangle isocèle quelconque ABC, menons la hauteur AD, et nous aurons la proportion identique :
ÂB* : ÂC* :: BD ; DC.
Donc, tout triangle isocèle est rectangle, ce qui est absurde. En conséquence, nous dirons :
.S» les carrés des côtés d'un triangle sont entre eux comme les segments adjacents déterminés par la hauteur, ce triangle est isocèle ou rectangle.
111. Les proportions par quotient jouissent exclusivement de. quelques propriétés, parmi lesquelles nous remarquerons les suivantes ;
Théorème. Dans une suite de rapports égaux la somme des antécédents est à la somme des conséquents comme un antécédent est à son conséquent.
Soit a:b:: c:d::e:f :: g: h:: ....,
a = bq, e = dq, e = fq,
9 = hq,
d’où a-\-c-\-e-\-g-\- ..., = {b-\-d-\-f-\-h-{-..^.)q\ a-]“C -\-e -\- g a
Conséquence. Si plusieurs fractions sont équivalentes, et qu’on les ajoute terme à terme, on formera une fraction équivalente à chacune d’elles.
IV. Supposons qu’au lieu d’ajouter les égalités ci-dessus, on les multiplie membre à membre , on aura
/ fl\ * û"
aceg.... = bdfh....q’'=\^J
( n désignant le nombre des rapports). Cette égalité traduite en
AITLII.VTION
languge ordinaire, duiinc lieu à un principe qu'un a quelqucluis occasion d’appliquer.
V . Dam une suite fie rapports égaux, ta somme des mogenne.est égale à la moyenne des sommes, c’esl-à-dire que
y/a6 v' cd -f v'e/'-l- = V^(rt + c + c -f (6 4- 1/ -f /■+ /( J .
En effet ,
ajoutant membre à membre, et obser\ant que les radicau.x v/^vA^ .... sont égaux , il vient
v'a6 + v/cd4->/ê7+ v'i/A = (rt + e4-c + ÿ)
^bJJ±f+h.
faisant entrer le coefficient du radical sous le radical, et sbu- ])iifiant, on a G. Q. F. D.
Nous laisserons au lecteur le soin d'appliquer cette formule à la recherche de la mesure du tronc de pyramide polygon.alc à bases parallèles.
Des règles de trois. ^
ôôd. l'noBLKMK. Pour creuser un fossé de !K) mètres de prolondeur on a employé, pendant 15 jours, 12 ouvriers qui travailtfiienl I 8 heures juir jour. Pour en creuser un second , on a em/doiir
DK L’ALCiÈnRE A l’aRITIIMÉTICU E.
16 ouvriers travaillant pendant 18 jours , et 9 heures par Jour ; quelle est la profondeur du second fossé? (Arithmétique, n* 5i2.)
Pour résoudre généralement cette question nous remplacerons les nombres par des lettres, et nous dirons :
a ouvriers, pendant b jours, et travaillant
c heures par jour, ont fait
1 ouvrier, pendant b jours, et travaillant
c heures par jour, fera
1 ouvrier, pendant 1 jour, et travaillant
c heures par jour, fera.
1 ouvrier , pendant 1 jour , et travaillant
1 heure par jour, fera
«' ouvriers, pendant 1 jour, et travaillant
1 heure par jour, feront
a' ouvriers, pendant 6' jours, et travaillant
] heure par jour, feront
a’ ouvriers, pendant é' jours, et travaillant c' heures par jour, feront
Soit X l'inconnue, on aura
dX.a'Xb’X.c'
