SC

aXôXc

Connaissant 7 des quantités qui entrent dans cette formule , un pourra déterminer la huitième par la résolution d'une équation du premier degré.

Règle de société.

3j>6. Problème. Partager un nombre donné N en n parties qui soient entre elles comme les nombres donnés a, h, c, d....

1" Par les proportions :

* Ou d“ |>ar abréviation.

d mètres''

aX.b

ax.b'^c

d" X«' a-Xb-X.c

d" X a' b' aXbXc

d“' X g' X.b'Xc' a XhX r

454 APPLICATION i

Soient x, y, s, u... les inconnues de la question, nous aurons a:x::b:y::c:z:: d:u

d’où a + - b’.yy.c’.z

par suite, x = ■

x~\~ b~\~c "f- d cN

fl-|- b -|- c d -j*...* dN

VÉRIFICATION. Les iiombrcs trouvés sont entre eux comme les quantités, car ils reviennent chacun à

o + 6+c + d+...' En outre, 1a somme de ces nombres donne N(g+6+c+d4-...)

2* Par les équations:

DS I.’ALGiBHE*X L’aRITHMÉTIQUE. 45:1

La forme particulière de ces n équations du premier degré à n inconnues , permet de les résoudre avec une extrême facilité. Exprimons chacune de ces inconnues en fonction de x; nous aurons

Substituant ces valeurs dans [1], on trouve

et par suite toutes les autres inconnues.

3“ Par une seule équation.

Les nombres cherchés sont entre eux comme les quantités données a, b, c, d..., ce qui veut dire que ces nombres sont égaux à ces quantités respectivement multipliées par un même nombre; soit x ce nombre, nous aurons ;

or -|- to ex da? = N,

on aura donc la valeur de chaque inconnue par une simple multiplication.

Cette méthode déjà remarquée en arithmétique est d’une grande simplicité , puisqu’elle n’exige qu’une équ.ition ; en général , il sera bon de l’employer dans les problèmes qui comprendront dans leur énoncé la proportionnalité des nombres cherchés.

Exemple. Trouver les longueurs des trois dimensions d’un parallélipipède rectangle de S'fO mètres cubes de volume , sachant qu’elles sont entre elles ; : 7 : 5 ; 3.

7x, 5x, 3x désignant les longueurs cherchées, on aura

7xx5x X3x = 840,

d’où

et par suite ,

application

«iM}

par suite, 14 mètres, 10 mètres et 6 mètres sont les trois dimensions cherchées.

Des problèmes de fausse position , d'alliage et de mélange.

5tS7. Nous avons montré, en arithmétique, tout le parti que l’on pt'ul tirer du raisonnement pour résoudre les problèmes de l'aiisse position sinqilc ou composée. I..a plupart de ces questions se résolvent d'une mauièiv plus expéditive en algèbre. C’est encore à l’algèbre qu’il faut avoir recours lorsqu’on veut donner la règle générale relative îl ces problèmes. Toutefois, comme les élèves ne sauraient faire trop d’efforts en aritbnié- Uque |M)ur développer leur intelligence, nous n’avons pas cru devoir passer ces applications sous silence. Ajoutons que la comparaison des deux modes de solution , comparaison que nous avons déjà indiquée à la fin du livre I, sera un exercice utile, < nr le succès dans l’étude des parties diverses des mathématiques, repose sur la comparaison des métliodes qui y sont employées. Ce que uous venons de dire de la résolution des problèmes de fausse position , s’applique également aux problèmes d'alliage et de mélange. Entre auti es applications, nous indiquerons le problème d’arithmétique du n° 3S8 , qui repose de fait sur la résolution de deux équations du premier degré. L’insuffisance de l’arithmétique en ce qui concerne les problèmes sur les mélanges, est facile à reconnaître, puisque la plupart de ces questions dépendent de Fanalyse indéterminée du premier degré à une ou à plusieurs inconnues.

Exsmplx. Combien faut-il prendre de vin à 15 sous, à 10 sous, et à 8 sous le litre, pour avoir du vin à 12 sous le litre?

Les équations du problème sont :

15a? -t- lOy -f 8s = 12.

Leur résolution en nombres entiers dépasse les bornes de l'arithmétique.

PE l’algèbre a I.’ARITmiKTIOI E.

Des progressions par difTérencc et |iar quotient.

I. On distingue deux espèces de progressions : les progressions par différence et les progressions par quotient.

Une progression par différence est une suite de nombres tels, qu’m diminuant chacun d'eux du précédent, on obtient un nombre constant qu'on appelle lu raison de la progression.

Une progression par quotient est une suite de nombres tels, qu’m divisant chacun d’eux par le précédent, on obtient un nombre constant qu’on appelle la raison de la progression.

11. La progression aritlunétique est croissante ou décroissante, suivant que la raison positive ou négative.

I.a progression géométrique est croissante ou décroissante, suivant que la raison est plus grande ou plus petite que l’unité.

in. a étant le premier terme d’une progression imithmélitiue et rla raison, le type général de ces progressions sera

vo. a -(-r . o-f- 2r . a-)- 3r «-!-(« — l)r

(n désignant le nombre des termes de la portion de progression indéfinie que l’on considère).

q étant la raison d’une progression géométrique, le type général de ces progressions sera

. a a:aq : aq* :a<^ : ... : aq"-\

IV. I..a comparaison des deux progressions montre une analogie frappante ; les sommes sont remplacées par des produits, et les produits sont remplacés par des puissances.

V. L’emploi des formules simplifie la théorie des progressions par difTérencc et par quotient, dont les propriétés nous sont déjà connues.

VI. Désignons par l un terme de rang quelconque ; les deux énoncés du n" 99 de l'Arithmétique auront pour expression algébrique ;

[2] /=fl — (n— l)r.

APPLICATION

Mois la raison r élan! négative dans le cas de la progression décroissante, l’égalité [2] est implicitement renfermée dans l’égalité [1] , en sorte que la formule l=a-\-{n — l)r sera l’expression du terme général dans les progressions par ditTérence.

L'analogie (ou bien ce qui a été dit au n° lil de XArithmétiqve) donne immédiatement

[3] l = aq’'-'

pour l'expression du terme général dans les progressions géométriques.

VII. I^s quatre problèmes résolus en arithmétique, à l’égard du premier et du dernier terme, du nombre des termes et de la raison , soit pour les progressions arithmétiques , soit pour les progressions géométriques, se trouvent implicitement renfermés dans les deux formules précédentes , qui contiennent chacune quatre quantités. Trois de ces quantités étant données, la résolution d'une équation fera connaître la quatrième.

Exemple. Trouver la raison, connaissant le premier terme, le dernier terme et le nombre des termes.

L’équation [1], résolue par rapport à r, donne

L’équation [3], résolue par rapport à q, donne pour formule correspondante

en sorte que si l’on voulait insérer m moyens entre deux nombres donnés a et b, on aurait

OT-f 1 ’

selon que la progression serait par différence ou par quotient.

La raison une fois connue, soit exactement, soit approximativement, l’insertion des moyens se fera sans difficulté.

DK l’algèbre a l’ahithmétiqi^. 459

VIII. On remarquera que si l’indice i« -f- 1 renfermait des facteurs premiers autres que 2 et 3, une méthode nouvelle deviendrait nécessaire pour calculer la raison de la progression géométrique cherchée.

La formule du terme général une fois établie , on passe à la sommation des termes d’une progression. Cette sommation, pour les progressions arithmétiques, repose sur ce que la somme des termes pris à égale distance des extrêmes, est égale à la somme des extrêmes.

Somme des termes d'une progression par différence.

3S0. IX. Considérons la progression

[1] Ta.a-|-r.a-|-2r. ..a-f(n — 3)r.a-j-(« — 2)r.o-f-(« — l)r.

Écrivons au-dessous la môme progression dans un ordre renversé, il viendra

[2] Ta-f(n— l)r .a-|-(n — 2)r.a-|-(n — 3)r. . .a-f2r.a + r.o.

La somme des deux termes correspondants, dans ces deux suites, est constamment égale à 2a -j-fn — l)r; d’ailleurs, celte sonune égale la somme a -f- f des extrêmes, puisque

et comme il y a n de ces sommes , la somme des termes des deux progressions [1] et [2], ou 2S, sera égale ü (a-f-/)n; en sorte que nous pourrons écrire

Cette formule est la traduction abrégée de l’énoncé de la règle du n® 108 de V Arithmétique : La somme des termes d'une progression par différence est égale à la somme des extrêmes multipliée par la moitié du nombres des termes.