XI. L’analogie nous montre que

est la formule du produit detnpremiers termes tF une progresnion géométrique, puisqu’il suffit , dans la formule [4] , de remplacer elia<|ue opération par celle qui lui est immédiatement sujiérieure.

On peut aussi établir directement celte formule de la manière suivante ;

»(»-ii

or, rt"Xç * =

= v'taxO".

Si rt et sont des quantités commensurables, le produit P est (‘videmmenl commcnsurablc ; la formule satisfait d’ailleurs è l'olte condition.

En effet, si n est pair, P = (a/)’; donc ... ;

Si n est impair, il suffit de remplacer / par sa valeur aq"~', auquel cas

«(«-Il

or, n(n — l)esl toujours pair; donc. . .

360. Phobléme. Trouver la somme des n premiers nombres impairs.

Les nombre.s impairs consécutifs forment une progression par différence, dont le premier terme est 1, et dont la raison est 2 ; il suffit donc d’introduire ces deux valeurs particulières, qui caractérisent la progression en question dans la formule [5], pour répondre au problème proposé; on trouve ainsi, réductions faites, S = n*; donc la somme des n premiers nombres impairs est égale au carré du nombre des termes.

Si on demandait la somme des n premiers nombres naturels 1, 2. 3, 4, .5, on ferait dans la formule [4] n=l, l=n.

DE i.'algébhe a l'abitumkticu e. ' iOI

ôOl. La formule S=n’ permel de former par addition la table des carrés des n premiers nombres consécutifs.

562. La même foitnule permet aussi de trouver trois carres (entiers) tels que le plus grand soit égal à la somme des deux autres ; autrement dit, de résoudre l’équation indéterminée du second degré «• = y* -f* nombres entiers positifs.

A cet effet, écrivons la progression ,

La somme des 5 premiers termes est 25 ; dans cette somme le 5* tenne 9 est un carré ; or, la somme des 4 premiers termes est le carré de 4 ou 16; donc 25 = 16+9. On peut donc poser a:=5, y=4, 3=3. On trouverait de même les autres solutions.

Applicalion géométrique de la formule x’ = y’ + A^

365. On dit quelquefois que les nombres 3, 4, 5, sont des nombres en triangle rectangle, parce que tout triangle dont les côtés sont numériquement égaux à 3 , 4 , 5, est un triangle rectangle. Ces nombres permettent, comme on le voit, d'élever une perpendiculaire à l’extrémité d’une droite sans la prolonger, ou bien encore de construire une équerre. On peut remarquer, en passant, que l’aire du triangle 3, 4, 5 est 6, en sorte que les trois côtés et la surface de ce triangle sont quatre nombres entiers consécutifs.

364. L’expérience prouve qu’un corps obéissant librement à l’action de la pesanteur, parcourant 1 pendant la première seconde, parcourra 3 pendant la deuxième, 5 pendant la troisième, et ainsi de suite; ainsi , les espaces parcourus forment la suite naturelle des nombres impairs; donc, les espaces parcourus par un corps soumis à l’action de la pesanteur, sont entre eux comme les carrés des temps employés à les parcourir.

Application. Une bombe a mis aidant de temps à monter qu’à ilescendrc, son mouvement a duré 10 secondes. A quelle bailleur s'esl-elle élevée, en supposant que la hauteur de cliule soit de 4"’ ,904 au bout d'une seconde ?

Digitizf C'.oogle

APPUr.ATION

La formule S=n* donne S=an*, si le premier terme de la progression est a; or, o=4",904, donc S=4“, 904X5*= 122“, 600.