Tant que l'on considérera isolément les formules

f =a-f (n — l)r , S on n'aura, pour chacune d’elles,

que quatre problèmes à résoudre ; mais si on les considère simultanément , on aura deux équations entre 5 quantités a, l, n,r,s\ trois d'entre elles étant connues, on pourra en déduire les deux autres, ce qui donne lieu à 10 problèmes :

DE l’aLUÉBHE a

l’arithmetiolk.

Connaissant.

Calculer.

/ et S,

Ces problèmes, à l’exception du deuxième et du cinquième qui dépendent d’une équation du second degré, se résolvent tous par des équations du premier degré.

Problème 1. Connaissant a, r, S calculer n.

Considérons les équations

Remplaçant l par sa valeur, l’équation [2] devient,

d’où

Cette équation a ses deux racines réelles : lorsque r est positif, l’une est positive et l’autre est négative. Or, n doit être un nombre entier positif, on ne prendra donc dans ce cas que la racine positive et encore faudra-t-il qu’elle soit entière pour que le problème soit possible.

On trouve ainsi

r — '2o±v'(r — 2a)’-|-8rS .

par suite

— r-j-v^fr — 2a)*-j-8rS

AITUCATIUN

I*ROBi.kMK U. Counaissaiit S, l, r trouver n cl a. L'équulion |.l] dunne

|tar builc —,

d'où rn‘ — (2/ -f r)» -}- 2S = 0,

équation qui donne

2/ + r ± v/{2/ + r)* — 8rS »- ^ ,

, r :qrv^(2/4-r)* — 8rS

et par sude a i .

Si les valeurs de n sont entières et positives, le problème admet deux solutions.

Application. r = 2, / = 12, S=36. Les formules donnent n=9, n=4; par suite a=6; «= — 4.

Somme des termes d'une progression par quolieut.

507. 1æ produit des termes d’une progression par quotient, correspond à la somme des termes d’une progression par différence ; quant à la somme des termes d’une progression par quotient, elle échappe à l'analogie.

Soit la progression H a : ag :ag* : d’où

[1] S = a -f 09' -f Oÿ’ -f ay’

Multipliant les deux membres par g, il vient :

[2] S9 = og'-|-û9’-f-a9*-f-oÿ‘-)- . . .

Cela posé, si la progression est croissante, on retranchera membre h membre l’égalité [1] de l’égalité [2] et l’on aura

Sg — S = «9" — rt, d’où S(g — l)z=a(g’' — 1), et par suite

DE l’aluebrb a l'aRITUUÉTIUL'E.

Si la progression est décroissanlc , il faut retrancher membre à membre l’égalité [2] de l’égalité [l] et il vient :

cette formule est algébriquement équivalente à la précédente par suite de l’emploi des quantités négatives.

La valeur de S peut être explicitement exprimée en fonction des quantités /, a et 9; en effet, l’équation [3] revient à

aq” — a .

mais

09" = «9"-* x,q z= ( 'Xq', donc ,

^lq — a

Remarques. 1. Cette dernière formule est la trailuction abrégée de l’énoncé d’arithmétique du n° 110.

II. La formule [3] a, par le fait , été obtenue en multipliant les deux membres de l égalité [1] par q — 1 ; elle n’est donc pas préparée pour le cas de q — 1 =0, ou de ç = 1 ; aussi , cette formule conduit-elle au symbole ^ , c’est-à-dire à une indétermination apparente, puisque la somme d’un nombre déterminé de termes est elle -même déterminée. La présence du facteur commun q — 1, qui a été introduit dans le calcul , est ici manifeste, puisque 7" — 1 est exactement divisible par q — 1; le quotient de cette division est 9*"' -f- 9""* -1- 9""’ -|- . . . -f 9 -f 1 , en sorte que la formule générale est la suivante :

Si , actuellement , on fait l’hypothèse de 9 = 1, il viendra S = an, ce qui devait être, puisque pour 9 = 1, les n termes de la progression sont tous égaux au premier terme a.

APPLICATION

Limite de la somme des termes d’une progression par quotient décroissante

à l'inflni.

S6iS. Si la progression par quotient est croissante , auquel cas l’on a ç > 1 , la formule

c og-— a

' tf-1

fait voir que si l’on fait varier n depuis une valeur initiale jusqu’à+* . S croîtra indéfiniment; donc, la somme S n’a pas de limite lorsque la progression est croissante.

Si, au contraire, la progression est décroissante, auquel cas l’on a y < 1 , la formule précédente revient à

J, a — aq" a aq’‘

Cela posé , n est ici la seule quantité variable; cette quantité est d’ailleurs susceptible de devenir plus grande que toute quantité donnée; par conséquent q" peut devenir moindre que toute quantité donnée, puisque y est une fraction proprement dite; par

suite , le munérateur de la fraction soustractive peut de-

venir moindre que toute quantité donnée; la quantité S s’approche donc de plus en plus de la constante ^ ; elle peut

d’ailleurs en différer d’aussi peu qu’on voudra sans jamais lui être rigoureusement égale , puisque n ne sera jamais infini ;

en conséquence, la fraction ^ ^ est une limite vers laquelle

converge la somme des termes d’une progression décroissante à mesure que l’on ajoute un plus grand nombre de termes ; nous pourrons donc poser :

liraS = -p^.

Ainsi , la limite de la somme des termes d'une progression par quotient indéfiniment décroissante est égale au quotient de la division du premier terme par l'excès de l'unité sur la raison.

DE l’aix.ebre a l'abithmétique. 467

Application. Trouver la génératrice d’uqe fraction décimale périodique simple plus petite que l’unité.

Exemple. La rrnetion décimale périodique 0,363636. . . . équi-

+ ...., c’est-à-dire à la

^ (100)' ^ {lOOj’ ' (100/ ' (100)‘ somme des termes d’une progression géométrique indéfiniment décroissante dont le premier terme est 0,36 et dont la raison est

0,01 ; par suite, la formule [6] donne lim S = =

1 — üyUi yy

ce qui s’accorde avec la règle que nous avons donnée en arithmétique.

Principes relatifs aux puissances d'une quantité plus grande ou plus petite que l’unité.

566. Pour trouver la limite de la somme des termes d’une progression jwr (|uoticnlnotrs nous sommes appuyé sur ce principe : Une quantité plus petite qle l’ünité étant donnée, on peut toujours élever cette quantité à une puissance assez grande pour que te résultat soit moindre que toute quantité donnée.

Ce principe découle de celui-ci : Une quantité plus grande que l’unité étant donnée, on peut toujours élever cette quantité à une puissance assez grande pour que le résultat surpasse toute quantité donnée.

Soit A > 1 ; prouvons que l’on peut toujours satisfaireà la condition A'">B (B étant aussi grand qu’on voudra). En effet, soit D l’excès de A sur l’unité, on aura l’égalité A — 1 = D. Puisque A est > 1 , le produit d’un nombre quelconque par A sera plus grand que ce nombre. On aura donc

APPLICATION

Ajoutant ineuibre à membre les m dernières égalités, on aura A" — l>»n.D; donc, pour avoir A“>B, il suffit de déterminer m de fa(,^on que [1] mD>B — 1 ; car a fortiori aura-t-on A” — 1>B— 1, ou A">B;

Or [1] donne m > — ;

donc le principe énoncé est démontré.

Soit actuellement A < l ,

on peut toujours satisfaire à la condition

En cfl'et, soit A' 1a quantité réciproque de A; il viendra successivement :