AA' = 1 A" A
Or, pour avoir A"<B il suffit de poser
d’où 1<BA"";
et par' suite A’“> -|,.
Mais on a A'> 1 ; donc, on aura A'“>g en prenant , d’après ce
qui précède, m = — g — ; D représentant l’excès de A' sur l’iinité.
DE l'algèbre a L'aRITHMÈTIQI E.
Problème IV. Connaissant o, l, n, trouver q et S.
Problème V. Connaissant l, n, S, trouver a et y. ç dépend de la résolution de l’équation
que nous savons résoudre quand on y suppose n=2.
Lorsque n=3 l’équation est du troisième degré, mais elle se
APPLICATION
réduit à une équation du second parce que son premier membre est divisible par q — 1.
Problèms VI. Connaissant a, n, S, trouver / et 9. La valeur de q dépend de l'équation
aq” — S9-I-S — a = 0.
Cette équation et la précédente admettent chacune la solution étrangère 9 = 1. (Chercher comment celle racine a été introduite.)
Quant aux quatre autres problèmes dans lesquels on suppose tout connu , excepté n et l’une des quantités a, l, S, 9, on aura à résoudre une équation de la forme
dans laquelle l’inconnue est en exposant. L’application du calcul des logarithmes (exposé en arithmétique) à la résolution de cette équation dite équation exponentielle , donne
a;logA = logB;
Des logarilhmes.
568. La théorie des logarithmes peut être envisagée sous deux points de vue : considérés comme des nombres en progression , les logarithmes sont des nombres en progression par différence, répondant terme pour terme à des nombres en progression par quotient; on complète d’ailleurs celte détinilion en ajoutant que zéro est le logarithme de l'unité. Considérés comme des quantités exponentielles, on peut dire que le logarithme d'vn nombre est la puissance à laquelle il faut clener un nombre constant appelé base pour reproduire le nombre donné; a désignant un nombre plus grand que l'unité pris pour . base, b désignant le nombre proposé, son logarilinne sera donné par la résolution de l’équation exponentielle a' = &,ainsi qu’on le verra dans les Compléments de l’algèbre.
Quelques observations suffiront pour compléter la Ihéorié des
DE l'algèbre a L'ARITBMÈTIQnE. 471
logarithmes telle que nous l’avons exposée en arithmétique, conformément au premier point de vue indiqué ci - dessus ; a et ÿ désignant deux quantités quelconques pim grandes que l’unité, nous aurons pour la formule du théorème fondamental démontré au n° 123 ;
logaX6=loga + l0gé,
Conséquences.
logoXôXcXdX.. . = loga-flogô + logc-f ..... loga’" = mlogo,
log| = loga — logé (a>6),
logVâ=-(loga).
Pour obtenir les logarithmes des fractions proprement dites, nous avons prolongé les deux progressions en sens inverse.
Faisant usage des exposants négatifs , Ces deux progressions peuvent s’écrire
0 : IO-* : 10-* : i0-‘ : lO-’ : io-‘ ; i : lo' ; lO* : lO*: io‘: .... »
— 00 .... . — 5. — 4. — 3. — 2.— l.Ô. 1. 2. 3. 4 âo
Le logarithme d'une fraction une fois défini, nous avons étendu par analogie les formules précédentes aux cas des quantités moindres que l'unité. Les nombreux exemples numériques que nous avons traités nous dispensent de toute addition à cet égard ; toutefois nous rappellerons que l'emploi des logarithmes è caractéristiques négatives doit être préféré à Celui des logarithmes entièrement négatifs.
Problème. Est-il nécessaire que 0 soit le logarithme de tuAili pour que le logarithme d’un produit soit égal à la somme des logarilhmes de ses facteurs ?
Considérons les deux progressions générales :
APPUCATIOM
Soit A un terme de la progression par quotient, ayant m termes avant lui;
B un terme de la progression par quotient, ayant n termes avant lui ;
A' le terme de la progression par différence correspondant à A ; '
B' le terme de la progression par différence corres-
pondant à B.
Nous aurons A’ —a' -\-mr A =<?ç", '
B' =a' 4-nr B =ûç*.
d’où A'-|-B' = 2a'4-(»*-|-n>- • . AB=n*Xv"^"-
La somme A'-|-B' et le produit AB ne sont pas. des termes correspondants, l'un de la progression par différence, et l'autre de la progression par quotient; ainsi, pour deux progressions quelconques, le principe fondamental est eu défaut.
Mais A'-|-B' — a' = o'-|-(»î-t-»;r;
AB
semblablement — = a X
De cette manière les nombres A’-f- B' — a' et ^ occupent
chacun le rang »w -1- n -|- 1 dans les deux progressions , cl par conséquent s’y correspondent; il suffit donc que a'=0, et que a = 1 pour que cette correspondance s’établisse entre A' + B' et AB ; de là la conclusion suivante :
Deux progressions, l’une par quotient et l’autre par différence, jouiront de la propriété de pouvoir ramener une multiplication à une addition lorsque le terme 0 de la progression par différence correspondra au terme 1 de la progression par quotient.
De l'incommensurabililé des logarUhmeA.
