Soient les deux progressions

7^ 1 : 10' ; 10’ : 10’ : 10» : lO",

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DB L’aLGÊBBE a L'aRITBUBTIUUE.

Ulsi'rODS m — 1 fermes enlre les termes consécutifs de la première progression el le môme nombre de moyens par dilTémice entre les termes consécutifs de la seconde ; la raison sera ,

d’nne part, ^ d’autre part, en sorte que les deux pro-

gressions primitixes deviendront :

H 1 : Vîô : v'üj’ : lOy'Tô: lO^ïô*: ...

m m m m 'mm

lOÇ'iü*-' : tCO:

Tous les moyens insérés enlre les termes de la progression par quotient sont incommensurables. En cfTet, prenons un moyen quelconque v'tô" > par exemple , et voyons s’il peut être égal à un nombre commensurable A. Posons v'ïô" = A, d'où 10" = A". Pour que cette dernière égalité soit vraie, il faut que 10" et A“ soient le produit des mômes facteurs premiers; or, les facteurs premiers de 10 sont 2 et 5, il faut donc que A se compose des mômes facteurs ; cela posé , supposons que le facteur 2 entre p fois dans A, et que le facteur 5 y entre q fois, il viendra A=V.5'', el par suite, A"'=2'~.5'''* ; mais, 10"=2".5";

donc il faut avoir pm= n el qm — n, d’où l’on tirep = j = ^>

or, P est un nombre entier, — doit donc être aussi un nombre

entier, ce qui exige que n soit un multiple de m \ soit Am ce multiple , on aura A = y'io*" = 10‘ ; ainsi , il n’y a que les puissances de 10 qui, dans la progression par quotient, soient des nombres commensurables.

Cela posé, prenons deux termes consécutifs de la progression par quotient, v^îô* et y'iü""'' , par exemple, leurs logarithmes

— el sont commensurables; mais si nous considérons

474 APfUCATKMI .

un nombre commensuroble compris entre y'ÏÔ* et on

peut bien dire que son logarithme est compris entre — et ■ ^ ,

mais le nombre commensurable dont il s’agit ne pouvant pas être un terme de la progression par quotient , on ne peut pas -

avoir son logarithme exactement, auquel cas ^ en sera une

valeur approchée. En conséquence, tous les nombres commensurables autres que les puissances de 10 (base du système de logarithmes vulgaires), ont leurs logarithmes incommensurables.

Rbmarqoe. On dit souvent que les nombres peuvent être regardés dans toutes leurs nuances de grandeur comme formant les termes d’une progression par quotient. Voici ce que l’on doit entendre par là.

Supposons que m soit très-grand, ce qui revient à dire qu’on insère un très-grand nombre de moyens entre 1 et 10, entre 10 et 100, et ainsi de suite. Pour s'élever de 1 à 10 il faudra passer par tous les moyens intermédiaires que l’on aura insérés; donc si l’on prend la différence entre le deuxième et le premier , entre le troisième et ie deuxième, entre le quatrième et le troisième, et ainsi de suite, la somme de toutes ces différences sera égale à 10, et par conséquent ces différences seront d'autant plus petites que leur nombre sera plus grand ; en prenant m suffisamment grand ces différences pourront devenir aussi petites qu’on voudra, ce qui revient à dire que : Les termes d'une progression par quotient peuvent approcher indéfiniment de satisfaire à la loi de continuité ; ces termes peuvent donc, sans erreur sensible, comprendre tous les nombres possibles.

Problème (ur les inlérèts composés ; recherche de la formule fondamenuie.

570. Nous nous sommes rigoureusement interdit l'emploi des formules en arithmétique; par suite, nous n'avons pü traiter que fort imparfaitement les problèmes relatifs aux intérêts composés et aux annuités que nous allons maintenant étudier d’une manière complète.

PH0RI.1IMB. Que vaut, du bout den années, une somme K placée

DE l'algèbre a l'arithmétique. 475

à raison de 1 povr lOOpar an, en ayant égard aux intérêts des in téréts ?

100' rapportent t* au bout d’un an, donc l' rapporte — au bout d’un an,

1' vaut 1 -f ou au bout d'un an,

par suite A' valent a au bout d’un an.

Ainsi , pour savoir ce que vaut une somme au bout d'un an , capital et intérêt réunis, il suffit de la multiplier par la fraction 100-f-/ lüO ■

En conséquence, la somme X ^ d’un

somme, au bout d’un an, vaut a X suite,

de sorte qu’au Inuit de n années la somme primitive A faudra A X valeur de cette expression , nous

aurons :

ou bien encore. A' = A(1 -|- r)".

r désignant l’inl^êt d’un franc.

Telle est la formule des intérêts composés.

Remarque. Celle formule n’est préparée que pour le cas où » est un nombre entier; si n était fractionnaire , 4 ans 8 mois, ou 4 ans f, par exemple, on chercherait d’abord, conformément aux usages établis , la valeur de A’ au bout de 4 ans, et on y ajouterait les intérêts simples de A’ pendant 8 mois.

appmcation

fonilamenl.ilc des intérêts composés dans le cas où le nomlire des années est rraclionnaire.

571. I. Le raisonnement précédent suppose que n est un nombre entier d'années. Qu’arriverait-il si n était fractionnaire? Cherchons la formule qui convient à ce cas.

.\u bout de n années le capital A vaut A(l-l- r)" ; mais un, franc rapportant r au bout d’un an , rapporte mr au bout de la fraction donnée (si on suppose 8 mois 5 jours, ou 245 jours,

36oj’

donc 1 franc vaut 1 -|- »wr au bout de cette fraction

donnée; le capital A(t -j-r)* vaudra donc A(l-|-r)" x(t soit A" celle valeur, on pourra poser

[2] A" = A(l-l-r)-'(l+wr);

c’est-à-dire qu’indépendamment d’unerègle d’intérêt composée on aura à résoudre une règle d’intérêt simple.

II. L’emploi des logarithmes permet de résoudre avec promptitude les quatre problèmes implicitement renfermés dans les formules [l] el[2] ; toutefois , nous re’commanderons à l’attention du lecteur le cas où l’on demande le temps, connaissant les trois autres quantités. Au premier abord il semble qu’il y ait deux inconnues.

On pose d’abord la formule A’=A(1 -f rf, comme si l’on devait trouver un nombre exact d’années pour l’inconnue ; prenant les logarithmes des deux membres, il vient :

log A' = log A x[Iog ( t -f r}] ,

d’où

log.V — logA log(l-i-r) ’

La plupart du temps on ne trouvera pas une valeur entière pour X ; on cherchera par les tables le plus petit nombre entier approché, de manière que n sera une valeur trop petite, tandis que n -j- 1 sera une valeur trop grande , ce qui prouve qu’il faudra faire valoir le capital pendant un temps plus grand que n années et plus petit que n -j- 1 années pour qu’il devienne

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DE l’aluébre a l'arithmétique. 477

égal à A'; soit y la fradioii d’années à ajouter, il faudra (pic l'on ail A' = AX(1 +r)"(l +yr),

d’iiù

par suite,

On cherchera le logarithme de

on reviendra au

nombre ; de ce nombre on retranchera l'unité ; on prendra de nouveau le logarithme, puis on en retranchera le logarithme de r pour avoir le logarithme de y ; enfin, on reviendra du logarithme au nombre et le calcul sera terminé.

Nous avons supposé que les intérêts se capitalisent d'annee en année, ainsi que cela se fait généralement dans la pratique ; on pourrait aussi supposer que ces intérêts se capitalisent h dliaque instant. (V'oiraii besoin la note sur les intérêts comivosés instantanés, page 161, tome II, des Nouvelles Annales de mathématiques.)

Problèmes numérique!) sur les liilérèts composés.

57Ï. Problème I. Trouver la valeur de 12546 francs places « 4 J pour XQO, pendant 7 ans, 8 mois, b jours.

On a

A' = A(l-f-r)"(l -1-wr);

posons A =12546; r= 0,045; l-|-r = 1,045; » = 7;

par suite. A' = 12.546 X (1,045)’ X

d'où log A’ = lüg 1 2546 -|- 7 log( 1 ,045) -|- log 37 1 ,025

-fComp. log 360 — 10.

Effectuant les opérations, on trouve

APPLICATION

' Tableau des opérations.

log 12546 = 4,0985053 log 1,045 = 0,01911629. 7 log 1,045 = 0,13381403 log 371,025 = 2,5694032 log 360 = 2,5563025. comp. log 360 = 7,4436975

log A’ = 4,24542003 A' = 17596,25.

Problème 11. Trouver au bout de combien de temps 12546 /r, placés à 4 ^ pour 100, vaudront 17596', 25, en ayant égard aux intérêts des intérêts.

Supposons que le temps eherché soit un nombre entier d’années.

A'= A(1 -f r)',' d’où log x=log . (log A'— log A) — log . log ( 1 -j-r).

IciA=12546; A' = 17596,25; 1 -fr = 1,045, par suite, x = 7 ans plus une fraction d’année que nous représenterons par y ; dès lors il viendra A’ = A(1 -f- r)''(l + yr) , d'où

log (• = log A'-f comp. log A -f- comp. 7 log (1 -|-r)— 20.

Effectuant, on trouve

> + = t ,030625, yr = 0,045 X y = 0,030025,

y = 45ÔÔÔ ~72 ^ année = 8 mois 5 jours, ce qui vérifie le problème précédent.

Tableau des opérations.

log I7596,JS = 4,2154201 log 12546 = 4,0985053

log A' — log A = 0,1468148

log. (log A' — log K) = logo, 1469148 =7,1670655 l0K(l + r) = 0,01911629. log. log 1,045= logO,OI91IC29 = 2,2814035

log X = 0,8856620 * = 7, ,,. 7<ï<8

DB L’ALGÉBM a L’ABITHMiTIQDE.

log 17596,25 = 4, 24S4Î01 '

log 12546 = 4,0985653. comp. log. 12546 =?, 9014947 j — 20 7.log 1,045=0, 1338 1407. COmp.7.log. 1,045 = 0,86618597 )

log (1 + yr) =0,01310077 I + yr = 1 + 0,045 X y = 1 ,030625, 0,045 X y =0,030625 ,

— = 8 mois 5 jours.

donnera

Problème III. Pendant combien de temps faut-il placer une somme donnéepour doubler sa valeur, à raison de b pour par an?

Soit A' = 2A, < = 5, la formule A' = A^*^^~^ ^

2 = , et par suite

log 105 — 2

n = 14 ans 2 mois 14 jours.

Ainsi une somme est doublée au bout de 14 ans environ.

Remarque. Si la somme était placée à 5 pour 100 à intérêt simple, il faudrait autant d’années que l’intérêt 5 francs est contenu dans le capital 100 francs, c’est-à-dire 20 an».

Problèmes sur les annuités ; recherche de la formule.

575. Supposons qu’un particulier soit débiteur d’une somme A, prêtée à intérêts composés pour n années, au taux t, et qu’au lieu de se libérer en une seule fois, il veuille placer au bout de chaque année, pendant n années, à t pour 100, une même somme telle que chacune étant cumulée avec ses intérêts pendant le temps qui précède l’échéance Use trouve en possession de la somme qu’il doit rembourser intégralement, on aura à déterminer la valeur de ce placement annuel, autrement dit la valeur de l’annuité. Ainsi, le problème des annuités a pour but ' ■ de former, au bout d’un certain temps, à l’aide de placements égaux et de l’accumulation de leurs intérêts, une somme équivalente au montant d’un capital que l’on doit rembourser avec ses intérêts composés.

APPLICiTlON

La souimc due esl A x

/lOO + f\ \ UH) y

on A X F", en posant,

, . 100 + / pour abréger, F =

Soit I» le raonlunl inconnu de raunuité, que le débiteur doit verser à la fin de chaque année pour s’acquitter intégralement ; cherchons ce que vaudront ces différents payements le jour de l'échéance, capital et intérêt réunis :

Les m fr. versés au bout de la première année valent «ixF"*';

Les m fr. versés au bout de la seconde année valent /«xF"-*;

Les m fr. versés au bout de la troisième année valent wixF"-*;

Les m fr. versés au bout de l’avant-dernière année \alent w XF;

Enfin, les m fr. versés au bout de la dernière année valent m.

La somme de tous ces vei seinenis forme l'équivalent de la dette, ou A X F" ; donc, en égalant ces deux quantités, on aura une équation dans laquelle m sera seul inconnu.

Or, la somme des versements annuels

wF"”' -f- wF*“’ -1- -f- ... -f )»F -f- m

peut s'écrire ,

[t] wXfF-'-f F-*-f F"-*4- ...-f F-fl).

La somme entre parenthèses est la somme des termes d’une progression géométrique dont le premier terme estF*“‘, la raison F"', et le nombre des termes n; piu- suite, elleéquivaut h

r:TF ” F — 1

on a donc

DE l’alcèbbe a l’aRITHMÉTIOIE.

Telle est l’équalion générale des annuités; cette équation résolue par rapport à m donne pour la formule fondamentale cherchée : *

AF"XfF-I)

Remaroik I. Lorsqu’au lieu de poser = F, on repré-

lUU

1 +77^1 0>* P*'»*’ 1 + '■> l'équation [2] prend

1 \7\l 1 uu

la forme A X(1 -f r}" =

»i[n -fr)"— 1]

Remarque II. Si l’on demandait la valeur de l’annuité né<‘essaire pour éteindre une dette perpétuelle, on poserait a = x , et comme on a F>1, on aurait F’=oo ; par suite, l’équation [2] deviendrait

Pour interpréter ce résultat, divisons les deux termes de la fraction par F", et nous aurons m = ^ Faisant ac-

tuclleinent n = * , il viendra ,