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1 — r; — et avec , — p-r
11 lO-j- 1 x — a ’ a:-f- 1
quées par ■
et . — Du plus grand commun diviseur de deux ou de
plusieurs nombres. — Théorie des nombres premiers. — Du plus grand commun diviseur. — Du plus petit multiple et des fractions irréductibles. — Remarquer l’analogie qui a lieu entre la décomposition d’un nombre en facteurs premiers et la décomposition x*-\-px-\~q—{x — x'){x — x'') \ dans les deux cas il n'y a qu’une seule et même déeomposition. — Des nombres incommensurables. — La racine carrée d’un nombre qui n’est pas le carré d’un nombre entier n’est pas le carré d’un nombre fractionnaire exact. — Extension du principe aux racines de tous les degrés. — Théorie des incommensurables. — Applications de l’arithmétique. — Proportions. — Proportions algébriques. — Règle de trois, d’intérêt, d’escompte, de société, d’alliage.
rnuURAMME SOMMAIRE.
(le iiu'liiiige ; el résolnlion clos mêmes problèmes à l’aide des formules. — Rt^ohilioii des équations du premier degré. — Résolution des équations du second degré. — Progressions par différence. — Progressions par quotient. — Problèmes du premier el du deuxième degré qui se rattachent aux progressions. — Logarithmes. — Intérêts eomposés. — Annuités.
Remarqie. Une marche analogue à celle que nous venons d’indiquer d’une manière sommaire, peut être suivie avec succès en géométrie; il y a plus, un élève qui connaîtra déjà les iiarties diverses des mathématiques devra , dans une nouvelle .élude, coordonner toutes les questions d’arithmétique, d’algèbre , de géométrie descriptive , de géométrie analytique% etc., qui présentent quelque analogie; il devra en outre comparer entre elles les méthodes employées dans ehacunc des branches des mathématiques pour résoudre les mêmes questions.
577. La somme de deux nombres est Ui; 12 est le plus grand commun diviseur; quels sont ces nombres?
Le produit de deux nombres est 86i; 6 est leur plus grand commun diviseur; quels sont ces nombres?
Partager 1U en trois nombres entiers dont 12 soit le plus grand commun diviseur.
Trouver trois nombres, connaissant leur somme 156, l'excès 12 de la somme des deux premiers sur le troisième el leur plus grand commun diviseur 12.
La diflërence de deux nombres est 30 ; leur plus grand commun diviseur est 6; quels ;ont ces nombres?
On demande le plus grand nombre qui donne le reste 8 quand il divise 3473 , et le reste 7 quand il divise 826.
Trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, connaissant leur produit 864 el leur plus petit multiple 144.
Trouver la plus simple des fractions équivalentes à et dont la différence des deux termes soit un multiple de 4.
Une fête est célébrée tous les 14 ans chez un peuple, tous les 18 ans chez un second , tous les 24 ans chez un troisième ; à combien d’années d'intervalle sera-t-elle célébrée la même année chez les trois peuples?
Il existe un nombre entier moindre que .5049 divisible par 9, et qui
EXERUCtS.
donne conetammenl le resta 9 quand il est divisé par les nombres 10, 10, 21 et 25 : quel est ce nombre?
Quel est le plus petit nombre qui, étant divisé séparément par 21, 96, 45 et 24 , donne constamment le reste 15?
Dans une proportion géométrique , le carré de la somme des deux pre roiers termes est à leur produit comme le carré de la somme des deux derniers est à leur produit.
Dans toute proportion géométrique , la racine carrée de la somme des carrés des antécédents est à la racine carrée de la somme des carrés des conséquents comme un antécédent est à son conséquent.
Dans toute proportion par quotient, la moyenne géométrique des deux premiers termes est à leur moyenne arithmétique comme la moyenne géométrique des deux derniers termes est à leur moyenne arithmétique.
Trouver le plus petit multiple de 7 auquel il manque une unité pour être divisible par 3, 4 et 5. *
Lorsque deux nombres sont premiers entre eux, leur produit et leur somme sont deux nombres premiers entre eux.
^ et ^ sont deux fractions irréductibles; b est premier avec n ; démontrer que fraction Irréductible.
Trouver la condition pour que soit égal 6
Un nombre terminé par 2 ou par 6 ne peut être le cube d’na nombre entier qu’autant que le chiffre des dizaines est impair.
Dans quel système de numération faut-il écrire 4096 pour être représenté par 14C41.
Deux facteurs moindres chacun qu’un nombre premier ne peuvent former un nombre divisible par ce nombre premier.
On a trois fractions périodiques simples : la période de la première est de 2 chiffres; celle de le seconde est de 4; celle de la troisième de 7; un ajoute ces trois fractions et l'on demande si la fraction résultante donnera lieu à une fraction décimale périodique; si elle donne lieu à une période, quel sera le nombre des chiffres de cette période?
Tout carré est un multiple de 3 ou le devient lorsqu’il est diminué d’une unité.
Tout carré est un multiple de 4 ou le devient lorsqu’il est diminué d'une unité.
Tout carré est un multiple de 5 ou le devient lors<)u'il est augmenté ou diminué d'une unité.
Tout carré impair diminué d'une unité est un multiple de 8.
BXKHClCEti. 495
Tous les nombres premiers sont des multiples de 3 ou de 4 augmentés ou diminués d’une unité.
Trouver un nombre de deux chiRres multiple de 9 et de 21.
217 est la différence entre les cubes de deux nombres entiers consécutifs; quels sont ces nombres?
Quelle est la fraction qui ne change pas quand on l’élève au carré?
Un nombre terminé par S ne peut être un cube qu’aulant que le chiffre des dizaines est 2 ou 7.
Un cube est égal à la somme d’autant de nombres de la suite des nombres impairs 1 , 3, 5, 7 , etc. qu’il y a d’unités dans la racine.
Calculer le quotient ^ de deux nombres donnés, à moins d’une fraction
donnée — .
On remplit d’eau distillée un vase cylindrique dont le rayon de la base est de 1 mètre et la hauteur de 2 mètres Trouver le poids de l’eau qui remplit le vase.
Une somme augmentée rie ses intérêts simples est devenue 6i72 francs BU bout de dix ans sept mois. Au bout de quinze ans elle est devenue 8300 francs : trouver le capital et le taux de l'intérél.
Une personne âgée de n années place une rente a à rentes viagères : on demande la valeur de cette rente dans la supposition que cette personne doive vivre encore ni années. (Voir , dans VAnnnairt du bureau des longitudes , la table de mortalité.)
Trouver deux nombres qui soient entre eux comme f ; 9, et tels qu’en diminuant le premier de c, et qu’en augmentant le second de d, les deux résultats soient entre eux comme m ; n.
Dégager X et y des proportions x:y::3;7; (a:-t-y)*;(® — y)’;:25:384.
Trois nombres sont entre eux 3 : 7 : 10, la somme de leurs carrée est 2328; quels sont ces nombres?
Trouver un nombre tel que le produit de ses trois tiers, soit au produit de ses quatre quarts , comme le produit de ses sept septièmes est au produit de ses onze onzièmes.
Partager 27000 francs entre trois enfants, dont l’un a 5 ans, l’autre 0 ans, le troisième 15 ans; sous la condition que chacune des parts augmentée de ses intérêts simples à S pour 100, soit la même quand chacun d’eux aura vingt et un ans.
Trouver un nombre qui ne soit composé que de 9, et qui soit un multiple de 7.
Trouver le nombre de diagonales d'un polygone par les progressions.
Un carré étant donné, on joint les milieux consécutifs par des droites, ce qui donne un carré, on opère sur ce carré comme sur le précédent, et
ainsi de suite , un demande la iimile de la somme des surfaces de tous ces carrés?
(Même problème pour le triangle équilatéral.)
Soit la progression arithmétique tI .2.3.4. ...m.m-f-t i prouver que (t +2 + 3-)-4.... +2+ 3.... + ™ + CRfixi
parfait.
Quelle est la somme de tous les nombres entiers compris entre t et t 00000.
Une personne place chez un banquier une somme de 7200 fr. ; uu bout de 7 ans elle reçoit 10000 fr. tant pour le capital que pour les intérêts accumulés; trouver le taux d’intérêt de la somme placée.
Trouver le nombre des rangs d’un bataillon triangulaire équilatéral de 78 hommes?
Le nombre des termes d’une progression par dilférence est 6, la somme de tous ses termes est 42, la somme des trois premiers est 12 ; quels sont ces termes ?
Trouver le nombre des termes d’une progression arithmétique connaissant le premier terme, la raison et la somme des carrés de tous les termes.
D’un tonneau qui contient 156 bouteilles de vin, on tire chaque jour trois bouteilles que l’on remplace chaque jour par trois bouteilles d’eau ; on demande combien le tonneau contiendra d’eau et de vin après qu’on aura fait cette opération sept jours de suite?
Un mobile animé d’un mouvement perpétuel parcourt cent lieues à la première minute, 99 la seconde, 98,01 la troisième, et ainsi de suite; combien parcourra-l-il de lieues dans toute l’éternité?
Trouver la somme de.s 50 premiers termes d’une progression géomé* trique dont le premier terme est 15 et le septième terme 25.
Le premier terme d’une progression arithmétique est I, le dernier est 20 , la somme de tous ces termes est 84 ; trouver le septième terme de la progression?
Appliquer la formule de la somme des termes d’une progression par quotient A la mesure de la pyramide triangulaire.
Trouver la raison d’une progression telle que le m"' terme soit a, et que le n”' terme soit 5.
Trouver une progression par différence , dont la somme des termes ajoutée à la somme des extrêmes soit 21, la raison 1 et le nombre des termes 5.
Insérer des moyens arithmétiques entre 3 ^ et 5, sous la condition que 3 ÿ soit un de ces moyens.
La population A d’un département cioit chaque année de on demande ce qu’elle sera au bout de n années?
' BXKRCICBS. - ■ . 497
Une progression par quotient est composée de six termes; le premier est 1, leur produit est 15, quelle est cette progression?
' Combien faut-ilprendredeterme3delaprogressiongéométrique1;3, etc., pour que la somme soit égale à 1093 ? v >
Connaissant dans une progression arithmétique a, r et S, trouver n et l. Introduire dans la valeur trouvée l'hypothèse r=0, et discuter les sym-
boles^et-.
Trouver i nombres en progression arithmétique et qui soient tels, qu’en les diminuant respectivement de 67, 270, 365 et il6 J , les nombres résultants soient en progression géométrique.
Trouver 4 nombres en progression arithmétique tels que, si on les retranche respectivement des 4 nombres 11, 28, 61 et 142, les restes soient . en progression géométrique. > ' ■ ■ •
Le premier terme d’une progression arithmétique est 2* la raison est 3, la somme de tous les termes est 2420 : trouver le nombre des termes de la progression.
Trouver 4 nombres en progression arithmétique tels que la sommeties deux premiers soit égale à 10 et la somme des deux derniers égale à 26.
Doux courriers séparés par une distance de 1650 mètres vont à la rencontre l’un de l’autre; le premier parcourt 4 mètres la première minute, et dans chaque minute suivante 2 mètres de plus que dans la précédente ; le second parcourt 2 mètres dans la première minute, èl, dans chaque minute suivante, 3 mètres de plus que dans la précédente ; au bout de combien de minutes se rencontreront-ils? . . , '■
Résoudre les équations et log de xij=\.
Résoudre les deux équatiohs a" -}- y = o, log x ; log ÿ ; m : n.
Une somme de 12000 fr. est due; dans 15 ans on payera 40000 fr., et la dette sera éteinte ; trouver le taux de l’inlérét.
Quelles sont les progressions à raisons entières dont le premier terme est 6 et dont 1446 est un terme? ' ,
Trouver deux nombres entiers tels que la somme de leurs carrés soit un carré parfait.
Un particulier devait une somme payable dans 12 ans; par suite d’un arrangement avec son créancier, il a acquitté sa dette par trois* payements, l’un de 500 fr. après 4 ans, l’autre de 900 fr. après 8 ans, et le troisième de 1500 fr.'après 20 ans ; trouver le montant de la dette.
Une somme de 800 fr.' n’est remboursable que dans 12 ans, on veut l’acquitter aujourd’hui , quelle est la somme à payer, le taux étant stipulé i raison de 5 pour 100?
Pendant combien de temps faut-il placer une somme à 5 pour 100 pot r l’aiagmenter de ses trois cinquièmes ?
Un billet de 2000 fr. est payable dans 5 ans, on veut payer 600 fr. au
EURCICES.
bout de 2 ans, 1000 fr. au bout de la troisième année , et l'on vèut s'acquitter à la fia de la quatrième; que devra-t-on payer à cette époque le taux étant 4 pour 100?
Bésoudre l’équation A'^' = B*.
Bésoudre l'équation a.b‘=.c''‘.
Cne personne jouant à quitte ou double parie un centime la première fois; quelle somme a-t-elle perdue au bout de 11 parties, en aupporaat que chaque fois la chance lui ait été défavorable ?
PROBLÈMES DITIRS.
Üne personne a dans une main un nombre impair de louis de 24 fr., et dans l’autre un nombre pair de napoléons de 20 fr. ; on lui dit : Multipliez par 6 ce que vous avez dans la main droite, et par 9 ce que vous avez dans la main gauche , additionnez les produits , distribuez la somme entre 48 pauvres , il revient à chacun 93 fr. — Dans quelle main se trouvaient les louis?
Deux personnes ont, la première 15',60, et la deuxième 11 ',40. Quelle somme la première doit-elle remettre à la seconde pour que oelle-ci ait { de plus que la première?
Une personne a dépensé 4S00 fr. pour acheter 90 aunes d'une étoffe qui a { de large ; on demande combien elle devrait débourser pour acbeler 15 aunes d’une étoffe d’une qualité qui a J de large, sachant que si les deux qualités étaient de même largeur, le prix do la première serait les J de celui de la seconde?
^ On a trois montres, la première avance de 6'",8' par 24 heures ; la deuxième avance de 13'”, 9’ dans le même temps; enfin, la troisième retarde de 47'°. On demande au bout de combien de fois 24 heures elles marqueront la môme heure ?
Quatre courriers se poursuivent sur une circonférence; le premier a une vitesse de 2 lieues j à l’heure ; le second de 3 lieues | ; le troisième de 7 lieues le quatrième de 2 lieues J. Au bout de combien de temps les courriers seront-ils ensemble ?
, Trois cavaliers se meuvent sur une circonférence ; le premier rencontre le deuxième toutes les 2 heures , et le troisième toutes læ 3 heures. Quand seronUils tous les trois ensemble?
Une montre a trois aiguilles, celle des heures, celle des minutes, et^e des secondes. Au bout de combien de tenq>s seront-elles de nouveau tmites ensemble ?
On a payé une certaine sonune au moyen de payements qui ont toujours .été en croissant de 3 fr. ; le premier a été de 6 fr., le dernier do S7 fr. On demande le nombre de payements et la somiàe remboursée.
BXERCICK8.
' On veut payer 5000 fr. en 8 ans; combien faudra-t4l donner chaque année pour que chaque payement effectué vaille la huitième partie de 5000 fr. au commencement de la première année.
On a payé 8235 fr. en 30 payemente qui ont augmenté succesaivement de 3 fr. On demande à combien sa sont élevés le premier et le dernier payement?
Une personne a acheté une pièce de drap pour 768 fr.; une deuxième personne a acheté une pièce de drap de qualité différente contenant 4 aunes de plus; elle a payé chaque aune 8 fr. de plus; et elles lui ont coûté tt20 fr. Trouver le prix d’une aune et le nombre d'aunes.
On a du vin à 13 sous et à 48 sous. Combien faudrailril prendre de chacun de ces vins pour former un mélange à 15 sons?
Partager a en deux parties telles que le carré de la première soit au carré de fa seconde comme m est à n.
Un négociant donne 3 francs de gratification à son commis chaque fois , qu’il gagne 3-5', 75. Le commis ayant touché 286 francs , on demande quelle a été la recette totale du négociant , sachant d’ailleurs qu’il gagne 5^8Q par chaque vente de 96 fr. >
4 fontaines coulant ensemble remplimienl un bassin en 16 heures ; le tempe qu’il faudrait à la première pour le remplir seule est au temps qu’il faudrait à la deuxième : : | le tempsde la deuxième est à celui de la troisième : : 1 J : 3 ; et le temps de la troisième est à celui de la qua ' trième ;; 1 ; 2. On demande le temps qu’il faudrait à chaque fontaine pour remplir le bassin en totalité? ’ . '
A quelle époque doit échoir un billet pour que la valeur stipulée soit à la valeur actuelle comme 18:17, l’escompte étant en dedans à 3> pour 100?^
On emploie des ouvriers à faire un ouvrage ; on dépense on tout 3375 fr.; chaque ouvrier fait 12 pieds 6 pouces d’ouvrage; on donne à chaque ouvrier 12', 50. On demande le nombre d’ouvriers et le nombre de mètres qu’ils ont fait?
On a plusieurs fractions périodiques simples; on sait d’ailleurs que la période de la première e$t de 2 chiffres, la deuxième de 4, et la troisième de 7 ; on ajoute ces fractions et l’on demande si la fraction résultante sera périodique, et datas ce dernier cas, quel sera le nombre des chiffres de la période ?
Un chariot a deux espèces de roues; le contour de la grande est de - 30 pieds 4 pouces ; tandis qu’elle fait 3 tours } la petite en fait 9J. Quel est ' le contour de la petite roue?
Bésoudre par tâtonnements l’équation
(Mponsb. x=1,6à0,1 près.) %
Un banquier a escompté deux billets , l’un de 7000 fr. payable dans cinq mois , l’autre de 4500 fr. à trois mois de terme. Trouyer le tanx de
l’escompte , sachant que le premier a été payé 2392' ,50 de plus que le second.
(Répo.>'Se. J pour 100 par mois.)
Deux courriers partant de Paris et de Metz vont à la rencontre l’un de l'autre; celui de Paris fait i lieues à l’heure, et il part S heures avant celui de Metz qui fait seulementS lieues à l’heure; il y a 79 lieues entre les deux villes; à quelle distance de Paris les deux courriers se rencontreront-ils i
(Réponse. A 53 lieues ^ de Paris et à 25 lieues de Metz. On comparera la solution arithmétique avec la solution algébrique, après quoi on généralisera le problème.)
Deux courriers partent de Strasbourg et de Nancy pour Paris; le premier fait i lieues à l’heure, et il commence sa course 5 heures avant le second qui fait seulement 3 lieues à l'heure; il y a 37 lieues entre Strasbourg et Nancy; à quelle distance de la première ville la rencontre se fera-t-elle?
(Réponse. Le courrier de Strasbourg rencontrera celui de Nancy à 88 lieues de la première ville , et ù 51 lieues de la seconde. — Comparer les deux modes de solution et généraliser.)
Dn robinet peut remplir un bassin en 3 heures , et un autre robinet peut remplir le même bassin en 5 heures; combien faudra-t-il de temps pour que les deux robinets coulant ensemble , remplissent ce bassin ?
(Répo.nse. 1 heure 52 minutes 30 secondes.)
-.Un réservoir est alimenté par 3 fontaines; tes dciix premières coulant ensemble le rempliraient en a minutes ; la première et la troisième coulant ensemble le rempliraient en b minutes; la deuxième et la troisième coulant ensemble le rempliraient en c minutes. Combien faut if de temps à chaque fontaine pour remplir le réservoir à elle seule? On suppose que l’écoulement de l’eau est uniforme.
( Réponse.
ar =
6c -f- ac — o6’
^ bc-f-ab — ac’
. , iabc ■\
ab-\-ac — 6c’ /
Un homme vend son cheval 2i0 francs, et perd ^ pour 400 de ce qu’il lui a coûté. Combien l’a-t-il payé?
-Un capitaliste a escompté en dedans deux billets, l’un de 7000 fr. à 5 mois do terme , et l’autre de .1500 fr. à 3 mois ; trouver le taux de l’escompte sachant que le premier billet a été payé 2395', 77 de plus que le second.
( Réponse. J pour 400 par mois. )
BXlnCICES.
Une personne possède un eèpital de 30,000 fr., qu'elle fait valoir à un certain intérêt ; mais elle doit une somme de 20,000 fr., dont elle paye un certain intérêt. L’intérêtqu’elle retire surpasse celui qu’elle paye de 800 fr.; une seconde personne possède 35,000 fr. qu’elle fait valoir au second taux d’intérêt ; mais elle doit 24,000 fr., dont elle paye un intérêt au premier taux; l’intérêt qu’elle retire surpasse celui qu’elle paye de 310 fr. ; on demande les deux taux d’intérêt.
(RépoMSB. Le premier taox esté 6 pour tOO, et le second taux est à 5 pour tOO.)
On multiplie l’un par l’autre' deux nombres dont la différence e^7S; par suite d'une erreur on a trouvé un produit trop faible de 100 ; ce produit est supérieur de 1 04 3 au produit du multiplicande par 227 ; quels sont ces nombres î ' ' '
(Réponse. 469 et 234^ — Interpréter la solution négative.)
On dit que Hiéron , roi de Syracuse , voulant offrir une couronne à Jupiter, donne 20 livres d’or à un orfèvre pour la faire. La couronne se trouva du poids de 20 livres ; cependant le roi , soupçonnant la bonne foi de l’ou- vrier, chargea Archimède de vérifier la chose sans endommager la couronne. - .
Archimède détermina le poids spécifique de la couronne et trouva 46 pour sa valeur, tandis que celui de l’or est 49,64; il en conclut que la couronne était formée d’or allié à un métal moins dense. La facilité avec laquelle l’argent s’allie avec l’or, lui fit soupçonner que l’argent était cet autre ’ - .
métal. Or, le poids spécifique de l’argent étant 4 0,5 , Archimède en conclut que la couronne était composée de 4 4<,77 d’or et de S',23 d’argent , ce dont l’orfévre convint. Trouver comment Archimède a pu découvrir cette composition de la couronne. On sait d’ailleurs que le volume d’un corps s’ob-.. tient en divisant un certain poids de ce corps par son poids sp^ifique. (4fflè6re <f« J/. Ciroitfe, page 90.)
On laisse tomber unè pierre dans un puits de mine et l’on trouve qu’il s’est écoulé un nombre t de secondes entre l’instant de sa chute et celui où ■ le bruit de son arrivée aii fond du puits est parvenu à l’oreille de l’observateur. On propose de calculer la profondeur de ce puits sachant que :
4* la vitesse du son est uniforme et de a mètres par seconde; 2° un corps qui tombe dans le vide parcourt 0 g mètres pendant la première seconde ;
3° les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps ; on fait d’ailleurs abstraction de la rteistance de l’air. (Algèbre de U. Cirodde, page 465.)
On suppose trois prés dont les surfaces respectives sont b, e, g où l’herbe ' ' est égale de hauteur et croit d’une manière uniforme ; le premier est épuisé par un nombre a de bœufs dans le temps c ; le second par un nombre d de bœufs dans le temps /'; on demande combien le troisième pré pourra nourrir de bœufs dans le temps h, ^
502 EXKRaCïS.
' r Décomposer 6 en deux parties telles que la somme des carrés ^Jeure inversee soit égale à
(RipoirsB. Les équations du problème sont : -
l-ui — 1®
L’équaüon n0x*+*S3!C*+«60x— 9M=«, * laquelle onarrive, est facilement résoluble par la méthode de décomposition. )
NOTES
NOTE SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRI- QUES DU 1" DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES.
1” Càs. Le système est déterminé.
4»+ 3v+ i*— Sfc=~ S
4»+ 3y+ 2x— 5fc=— 5
47* — y+ai»e: 60
6®— 4jf — 3JC-1" Bt=
hx— Vt- TX— 21=
DI
17»— lly— 3»fc= 40
47»— y+3IX=
lis»— 19y= 179
De tlO] on tire x=2; substituant cette valeur dims [8], on en tire y =3 ; ces deux valeurs étant substituées dans [5], on trouv 1 ; enfin [1] donne t = 4; en conséquence, le système des valeurs cherchées est x = 2, y =3, s= — J, < = 4.
2* Cas. Le système est impossible.
Ky+l»X=— 1
DI
Sy+ia»=—
— lly+ 18*=
