SUR LES IN'COHIIENSURABLES

ileur limite des grandeurs que rcpréscntcnl les différentes racines d’une suite de cai rés commensurables qui différent de 2 d’une quantité plus petite que tella quantité donnée qu’on voudra.

Remarque. Des raisonnements semblables an précédent s’appüqoent aux racines d’un degré quelconque.

III. Les racines des nombres conduisent à des incommensurables ; on verra plus tard qu’il y a d’autres cas d’incommensurabilité, mais toujours avec cette circonstance que l’on pourra trouver deux séries de nombres se correspondant chacun à chacun, tels que la différence entre deux nombres correspondants puisse devenir moindre que toute quantité ' donnée , et qui satisferont approximativement ceux d’une série par défaut, ceux de l’autre par excès à la condition imposée au nombre que l’on veut obtenir. Ces grandeurs représentées par les deux séries de nombres auront une limite commune incommensurable , dont le nombre cherché sera censé la mesure.

rV’. Dans le calcul on ne peut prendre sur le fait ni les grandeurs incommensurables, ni leurs mesures fictives; on opère toujours sur des nombres commensurables qui mesurent des quantités très-peu différentes de la quantité incommensurable qu’on 'ne saurait évaluer rigoureusetpent en nonvbres; en conséquence, dans le calcul appliqué aux nombres incommensurables on pourra faire usage de tous les principes établis pour les nombres commensurables. On pourra, par exemple, intervertir l’ordre des facteurs incommensurables d’mi produit. En effet , si pour fixer les idées, on avait à multipUcr \/227 par ^79, et qu’on voulût le produit à moins d'wa dixième, on multiplierait 15,06.... par 4,29.... ce qui donnerait 64,6. Or, on pourrait changer f ordre des facteurs précédents, et multiplier

4.29.. .. par 15,06...., d’où il résulte que l’on peut changer a priori l’ordre de l’opération indiquée, et écrire ^79 X V^7, puisque si l’on passe au calcul approclié, on trouvera

4.29.. ..xiô,06.... , comme si l’on avait changé l’ordre des facteurs dans le calcul des nombres commensurables , sufaelitués au calcul des nombres incommensurables.

Remarque. On ne peut pas dire d'une racine incomiBensa-'

NOTB

Table, de y' 2, par exemple, qu’elle est la limite d’un nombre, parce qu’il n’y a pas, à proprement parler, de conlinuilé dans les nombres; p.ar conséquent, on ne peut pas établir la théorie des incommensurables en passant aux limites, et si l’on voulait passer par lesgrandeurs continues (jue les nombres incommensurables sont censés représenter, on ne pourrait pas faire les opérations de raritbmétiquc sur ces grandeurs; ainsi ce prétendu passage aux limites est dépourui de sens et de justesse. Néanmoins , malgré l impossibilité d'assigner la valeur d’un nombre incommensurable, il n’en est pas moins convenable de regarder toute relation entre des quantités incommensurables comme étant vraie toutes les fois que la môme relation a lieu entre des nombres conuncnsnrables , mesures de grandeurs incommensurables variables qui convergent vers des grandeurs fixes et déterminées, qui sont censées représentées par ces >nombres incommensurables.

En résumé, 1” il n’y a pas à proprement parler de nombres incommensurables; mais lorsqu’une grandeur est incommensurable avec l unité, cl que l’on considère une série de gran- ' deurs commensnrablcs qui aient la précédente pour limite, les nombres qui mesurent ces grandeurs commcnsurables seront des mesures approchées de la grandeur incommensurable proposée; ce n’csl que par analogie d’idée qu’on peut dire que la mesure de la grandeur incommensurable est un nombre incommensurable que l’on peut calculer par approximation.

2° Une relation est censée avoir lieu entre des nombres incommensurables lorsqu’elle a lieu entre des nombres commensurables qui représentent des grandeurs commcnsurables capables de converger vers les grandeurs incommensurables de môme espèce dont les nombres incommensurables supposés sont censés les mesures.

3» Une équation est censée avoir lieu entre des nombres incommensurables lorsqu’elle se vérifie quand on calcule les ‘deux membres avec le môme degré d’approximation en substituant aux nombres incommensurables des nombres coinmensurablcs convenablement approchés , cl cela pour tout degré d’approximation. L’égalité y^ Xy^3= y/6, par exemple, signifie que, si d’une part, on calcule ^2 X y^3 à moins de