Si on suppose m = 10 , celte équation devient
d’où a: = n 4- 1 •
Si w= 10’= 100 , l’équation devient ;
d’où ar=n-}-2.
Ainsi on satisfait à l’inégalité A < ^ par la valeur a: =n -f l,
lorsqu’on a m = 10 , et A fortiori , lorsqu’on a »» < 10.
On y satisfait encore par la valeur a:=»-f2, si on a 10 <»i < 100 ou ff» = 100. De là cette règle :
Pour obtenir la somme de m quantités approchées à moins de
-î- calculez ces quantités approchées toutes par défaut , ou bien 10" ’
toutes par ■'excès à moins de «m = 10, ou si ui<10;
ealculez-les à moins de |q„Ti > m = 1 00 , ou s» 10 < lu <C 100.
Faites la somme de toutes ces valeurs approchées; si les approximations sont toutes par défaut, et que l'on ait t m=10 où m<|l0, supprimez , dans la somme trouvée , le premier chiffre à droite , et auçmentez le second d'une unités Si les approximations sont toutes par excès, supprimez le premier chiffre à droite, sans altérer le second. Si l'on a m = 100 ou 10 <m < 100, supprimez Us deux premiers clûffres à droite, et augmentez U troisième d’une unité, ou bien supprimez les deux premiers sans altérer le troisième , suivant que les approximatiortë seront toutespar défaut, ou toutes par excès.
; ^ . SCTR LES AmOXIMATIONS. 515
Application. Calculer à moins d’un millième, le polynôme suivant ; . '
S = \/27 + 3v'5 + 7v/2Ô+2v/7r+20v^+10v/lÔ. '
On fera passer sous les radicaux les facteurs 3, 7, 2, 20 et 10, et l’on aura :
S == v'iÿ + + v'ôsô + + v^ïâôô + ^/Tôôô.
Puisque la somme doit être approchée à moins de et que l’on
am=6< 10, il faut calculer ces racines à moins de puisqu’ici n=3, et que n-|- 1 =4.
V^= 6,7082 + p<jL
V^= 16*8522 4- V'Ï2ÔÔ= 34,64îO+e<i " ' .V^ÏÔÔÔ= 3l,6227 + «<j^
- Ces six radicanx éhmt'tous approchés par défent, la somme ,de leurs valeurs approchées ne diffère pas de leur somme
exactes de Donc si, conformément à la règle, on sqp-
primeieobiftre 1 à droite, et qn’on augmente ^une intifié le
non >
chiffre 5 , ce qui revient à ajouter - = 0,0009 , le résultat 136,326 excédera S de
v/27= 5,1962- .'<jL v/45 = 6,7083 - P' v/98Ô= 31,3050— S'
v'ï^= 34,6411 — t'<i V^ÏÔÔÔ= 31,6228 — »'<1; ,
La somme des valeurs approchées par excès des radicaux surpasse leur somme exacte S' de , si on supprime
suivant la règle, les 7 dix-millièmes, le reste 125,325 sera ‘ moindre que S' de ^ /brtion <0,001. L’ap-
proximation sera ici , par défaut.
Reharqcb. La règle prescrit de calculer les valeurs approchées des quantités à ajouter, toutes par défaut ou toutes par excès. En effet , si les unes étaient approchées par défaut et les autres par excès, les erreurs a, p, y, $... seraient les unes positives et les autres négatives , et l'on ignorerait si leur somme algébrique tk est positive ou négative, par conséquent on ne saurait pas si , dabs la somme trouvée , on doit supprimer le dernier chiffre et augmenter d’une unité l'avant-^ernier à droite, comme il faudrait le faire si on avait A>0, ou supprimer seulement le dernier chiffre sans altérer l’avant-demier, ainsi que le prescrit la règle quand on a A<0. Le résultat qu’on serait
SUK US APniOXIMATICmS.
obligé (le œnserver sans altération, aurait bien l'approximation demandée, mais il serait exprimé en parties 10 fois plus petites que celle qui détermine l’approximation , et l’on ne répondrait pas à la question qui exige que la valeur approchée à moins d'un millième soit exprimée en millièmes.
Soustraction.
Soient k et B deux quantités dont on demande la différence; avec quel degré d'approximation faut-il les calculer pour que la différence a — h de leurs valeurs approchées exprime la différence
A — B avec uneerreur A<
Soient le degré d’approximation cherché, et a, ^ les diffé- . rences exactes (A — o) et — 1>), on aura :
A — 0 = 0, B— >■5 = P, et par suite, (A— B)— (a~è)=«— p=A<
mais on a aussi ;
Supposons O et P de même signe , on aura en valeur absolue ,
O — p<la plus grande des deux quantités o , p, et par suite ,
a — P = A < ^ ; or on satisfait à cette inégalité et à A < i
en posant « = n ; en conséquence,
// faut calculer les quantités A et B avec le même degré d’approximation que celui qu'on veut obtenir pour leur différence.
Remarqob. La règle précédente suppose que les erreurs o et p sont de même signe. En effet, si elles étaient de signe contraire, a — p = A serait , en valeur absolue , la somme des valeurs
absolues de ces deux erreurs, et quoique l’on ait a et P< jqï*
on ne pourrait pas conclure a — p<que la plus grande de ces deux quantités, et par Suite a — p = A < ^ ; on est ainsi conduit à compléter la règle précédente, en disant :
