ROTI

etc , des nombres moindres que 10 ; on pourra écrire, d'une manière générale , les valeurs de À et de B , 'comme il suit :

A = o.lO»-4-&.l(r-'-t- -t-c.l0’+d.l0“-t-«.10-‘-t-,...

B = oM0« + ô'.10«-* + '..... + c'. lO' + tf .10»+e'.10-'+ ....

+/•. io-"+ÿ . io-^‘ + A . 10-"-‘ +....

+ 1' . 10“*^ +/ . 10“*“^ + A' . 10— + etc... .

R représente tous les termes suivants, c'est-à-dire que

R = m.lO-"-*-*-f-l . 10~'*^‘-t- etc.

Si l’on multipliait tous les termes de A par chaque terme de B, on obtiendrait des produits partiels, dont la somme composerait le produit total AxB; mais, puisqu'on veut ce pro-

duit approché à moins de = 10"”, il suffit, en vertu de la

règle de l’addition , de calculer tous les produits partiels avec

l'approximation de ou de suivant que leur nombre

ne surpasse pas 10, ou qu’il est compris entre 10 et 100. Nous supposerons que c’est le premier cas qui a lieu ici, parce que c’est celui qui se présente le plus souvent, et que d’ailleurs les explications que nous donnerons pour ce cas conviennent à , tous les autres.

Cela posé, puisque tous les produits partiels doivent être

calculés avec l’approximation = 10“*“* , il faut chercher

les termes de A qu’il suffit de considérer pour que le produit de tous ces termes par le terme de B qu'on prendra pour mul- 7 tiplicateur, ne renferme pas d’unités d’un ordre inférieur à 10“’^'. Si l’on veut , par exemple, le produit partiel de A par le premier terme à gauche de B, c’est-à-dire para'. 10*, on voit immédiatement que le terme de A , dont le produit par a' . 10* contient des unités de l’ordre 10-*-* est le terme j . 10-*-*-* , puisque 7.10— *-*Xo'. t0*=>o’. 10-"-* ; par conséquent, en

Digilized by Coogic

SCR LKS APPROSIHATIONS.

multipliant par a' . lO’ , de droite^ gauche , tous les termes de A à partir du termes' . jusqu’au premier terme a . lO', on

obtiendra un produit qui ne contiendra pas d’unités d’un ordre inférieur à celui de l’approximation demandée. Désignons ce produit par S . 10“'—' en ajoutant à ce produit les unités de l’ordre 10"'-' qui peuvent provenir de la multiplication des autres termes de Apara'.lO', on aura le produit partiel de A par a'.lO’ approché à moins de 10“'—' ; multiplions donc les autres termes de A para'. 10*; çn indiquant d’abord la multiplication , il vient :

(*. l(r’’“*-‘-|- 1 . 10“''“«“'>j'.10« -l-a'. lO» X R , le produit des deux termes de la parenthèse par d.W donne a'A.lO—'-f-o'/.lO-’-».

Les unités de ce produit étant de l’ordre 10""“*, 100 de ces unités en forment une de l’ordre 10“’-'; par conséquent, si l’on représente par s le nombre de centaines que ce produit . peut contenir , et par r les unités , ce produit pourra être mis

sous la forme : - .

(«provient de la retenue de la multiplication par a'. 10* des ' deux termes de A qui suivent le terme j . 10"’-*"', r représente ce produit diminué de ses centaines ; par suite on a r •< 100.)

Faisant la somme des divers produits que nous venons d’obtenir, le produit total Axa'. 10* pourra se mettre sous - la forme :

A X a' . 10’ = S X 10-’-' -f- « X 10-""' -t- »• X 10“"“* -}y tt' . 10* X R = (S-f«)10“-'-f r. 10“""*-f^o'. 10* X R.

Pour obtenir le produit partiel approché à moins de 10“’-', on > voit qu’il faut dégager les unités de cet ordre qui peuvent se ' trouver dans les deux dernières parties de ce produit partiel^ total, c’est-à-dire dans rxi0“"^-)-o'.10*xR; pour cela, il faut" remarquer que R=»i. 10— *“*-f «.lO-'^^-f ....etc.... et que le terme de A qui précède R est f . 10—*"’ ; par conséquent , la somme de toutes les décimales que représente R , quel que

522 ’ ■ ' - NOTE

soit lotir nombre, est moindre qu’une imité décimale de l’ordre immédiatement supérieur à celui de la première décimale de la somme R; en conséquence , on peut écrire 10r*-*-* >> R, et , pîtr suite • '

o'.10’XtO-"-^‘>a'.10’XR, ou o'X 10-’’r’>aM0» xR ; donc rX10-"-’ + a’Xl0-"-’>rX10-’’-»+o'.10’XR, ' ou , en réduisant ,

Le second membre de cette inégalité est la partie du produit Axa'. 10’, dont nous cherchons à dégager les unités de l’ordre 10“"“’ qui peuvent y être renfermées; or, le premier membre est plus grand que le second, donc lorsque le premier membre ne renfermera pas d’unités de l’ordre 10“"“' ou n’en renfermera qu’une exactement , le seccaid membre n’en contiendra. pas, et par conséquent (S-|-*)10“"“‘ sera le produit partiel demandé; mais, les nombres r et a’ sont entiers, de plus on a : r< 100, «’< 10 , donc les plus grandes valeurs de r et de a' sont : r = 99 , o' = 9 et

Portant cette valeur maximum de (r-{-a') dans le premier membre de l’inégalité ci-dessus, on obtient : valeur maximum de (r-|-a'jl0“"“.*=(l0^^-8)l0-"“*=10“"-1-l-8xi0“"“*; en conséquence , le premier membre de l’inégalité ci-dessus ne peut contenir qu’une seule unité de l’ordre 10“"“' , et il en est de même, ô /'ortiori, du second membre. Pour que (r-f- a') 10“"“* contienne une unité de l’ordre 10“"“' , il faut que l’on ait f-l-o'=100 ou >100. Donc on peut dire avec certitude : Lorsque r -j- a’ ue surpassera pas 100 , l’expression

rX10“"“*-f-o'. lO’XR

ne contiendra pas d’unités de l’ordre 10“"'-', et, par consé' quent, (S-f«)10-*“‘ sera le produit partiel dierché; mais si (r+o')> 100, le premier membre de l'inégalité ebéessus, (r^-o')lO-*-* contiendra urte unité de l’ordre 10^' ; mms onne

SÜR LES APPBOXIMATrONS.

pourra rien conclure, à priori, pour le second membre, attendu qu’il est plus petit que (r-|-a')10“’*~’; pour faire cesser toute incertitude , il faudra recourir aux deux premiers termes de R qui sont : m . 10-’^-* ; on les multipliera par

o'.lO*, et si le produit dont les unités seront de l’ordre contient des centaines , on les ajoutera à rx 10^'^ , parce que

ST l’on désigne le nombre de ces centaines par s', et par C le nombre d’unités de ce produit, -on pourra écrire l’expression f X lO-"-* -)- a' . 10* X R sous la forme

r X lO-"-* + O* . 10’ X R = 10— * -j- o' . 10’ X R’ ; .

R' désigne tous les termes de R qui suivent les deux premiers.

On pourra donc écrire le produit partiel complet A X a' . 10’ de la manière suivante :

Axa'.10’ = (S-|-i)10-"-‘-f-(f-t-s')lû-’’-’'+r'Xl0— ’+a'.IO’XR'. ^

' Les deux derniers termes de ce produit , savoir :

r'XlO— -’ + a'.lO’XR', ' ■

ne peuvent contenir qu’une seule unité de l’ordre 10^"^ , ce qui se démontre par un raisonnement semblable à celui qui a servi à prouver que l’expression r x 10“"~’-|-a'.10’X R ne peut contenir qu’une seule unité de l’ordre 10“"~*. U suit de là que si l’on a r -|-s'<99 , il n’y aura pas de retenue à ajouter à (S-f s)10— ce sera par conséquent le produit demandé; mais si l’on a: r-)-*'>99, il faudra augmenter (S -|- j) d’une unité, le produit cherché sera alors (S-|- s + 1)10— Si Ijon avait r-|-i'=99i il faudrait recourir aux deux première termes de R' pour savoir si (r' XIO— *+a'. Wx R') contient une unité de l’ordre 10—*; mais on peut se dispenser de faire cette recherche, et, dans ce Cas, on ajoutera une unité' à (S-|-*)- A la vérité, le produit ■ partiel (S l>lü*"“‘' pourra être approché par excès, à moins de -rèïï de 10*"-*, tandis que la règle de l’addition prescrit de calcula le» nombres à< ajouter avec une approximation par difasU'; maie. il n’en peut résulter aucune wreur dans le résultat Rnal.

NOTE

Il suit de là que les nombres qu’il suCfll de calcider pour i former un produit partiel quelconque sont ceux qui, dans la formule générale ci-dessus , sont représentés par S, s , r,

Pour obtenir le nombre s , il faut chercher le terme de A dont le produit par le terme de B qu’on prend pour multiplicateur,

' donne des unilésde l’ordre de l’approximation 10-*-'. On évitera ' cette recherche si , avant d’opérer , on dispose les termes du multiplicateur B au-dessous de ceux de A , de nuinière que le produit de deux termes quelconques correspondants donne des unités de l’ordre 10“"“' , comme on le voit ci-dessous :

B = f'IO-"-^* -|- *'10“"“^' -1- i' . 10“"“* -f .. . .

, ' -l-c.lO'-l-rf.lO'-t-e.lO-'-f.... - .

-h A'10-«“’ -f ÿ'IO-*-' -j-Z^lO- -I- ....

,-fi.lO-'“^-f7.lO“"“«“'-l-A.10“-^-*-|-/.lO“"“^*-fm.lO“"-’-‘-fMO— -f-A'KP-'-f-fl'lO’.

On voit que les unités de B , qui sont . 10° se trouvent audessous du terme g . 10“"“' , dont les unités décimales sont de ‘ l’ordre de l’approximation , et que tous les autres termes de B sont placés , savoir: les dizaines, centaines, etc., à droite des unités, tandis que les dixièmes , centièmes , etc., se trouvent à gauche. Si l’on veut former un produit partiel quelconque , par exemple , celui de A x a' X 10°, voici comment il faut opérer : on multiplie par a! . 10° les deux termes de A placés à droite du terme >. 10“"“°“' correspondant au multiplicateur o'.10°; on Ote les centaines s de ce produit , et on ajoute au reste r le chiffre a' du multiplicateur; si la somme r-\-a' ne surpasse pas 100, on relient les centaines s qu’on ajoute au produit .du terme ;.10“"“°“' par son correspondant o'.lO*; on écrit les unités de ce produit qui sont de l’ordre 10“"“' , et on retient les dizaines pour les ajouter au produit du terme <.10“"~° par a' . 10° ; on écrit les unités de ce produit , et l’on relient les dizaines pour les ajouter au produit par a' . 10° du terme de A, à

SOR LBS APPROXIMATIONS. 625 ^

gauche de celui qu'on vient de multipiiep, et l’on continue de multiplier tous les termes de A jusqu’au premW terme a . 10».

On obtient ainsi le produit partiel demandé. Si l'on trouvait r -|- a’> 100 , il faudrait multiplier par o' . 10* les deux derniers termes de A , qui sont m . 10“"-*-*+ 1 . 10“"-^, < et ajouter à r les centaines s' de ce produit , et si r 4- a' < W, on n’aurait pas^ à augmenter* d’une unité; on ferait alors la multiplication, comme il vient d’être dit ; mais si l’on trouvait r-f-*'>99 ou =:dl9, il faudrait augmenter s d’une unité, ajouter * + l au produit des deux tenues correspondant^ . l(r*-*-^ >; a' . 10*, et continuer ensuite la multiplication de tous les termes de A par a'.lO* jusqu’au premier à gauche a . 10».

En examinant les termes de A et de B qu’il suffit d’employer pour avoir le produit A XB approché à moins de 10-", on voit

que le dernier terme de A est de l’ordre i0“"“*-‘ = > et

que le premier terme de B est de l’ordre 10-"-»-*= Les

exposants »-f94-5etn4-p-|-2 indiquant je nombre de décimales de A et de B, on peut établir les formules suivantes ;

Le nombre de décimales avec lequel il faut calculer A est

le nombre de décimales avec lequel il faut calculer B est

Dans ces formules p et ^'désignent respectivement les exposants positifs ou négatifs des puissances de tO qui expriment les unités de l'ordre le plus élevé dans A et B.

Rbmarqgb. Si le nombre des produits partiels dont le produit AxB doit être composé était compris entre 10 et 100, il faudrait ajouter 1 aux formules ci-dessus, parce que les produits partiels devraient être calculés à 10-"“* près.

Application. Étant donné un cercle dont le rayon est égal é 5 mètres, on prend le côté du triangle équilatéral inscrit à ce cercle pour rayon d'«n second cercle. On demande , à un millième près , la longueur de la circonférence de ce second cercle.

526 nOtb

L’énoncé de ce problème conduit à l'équation x = 2nX5v^3;

<c désignant la circonférence cherchée. Cette valeur de x j»ut se mettre sous la forme :

x=itxv^.

Puisqu’on demande la valeur de x à moins de 0,001 q>rès , il faut calculer les produits partiels qui composent le produit irXv^âÔÔ avec l’approximation de 0,0001. Comme les deux facteurs de ce produit sont incommensurables, il faut voir avec combien de décimales il suffit de les calculer. Si l’on prend V^3ÔÔ pour multiplicande A, et tt pour multiplicateur B les ' unités de l’ordre le plus élevé de A et do B sont rcspectire- ’ment iO* et 10"; car on voit que v'300 aura deux chiffres dans sa partie entière ; on aura donc dans lé cas actuel :

n + g-f5=3+0-|-5=8 et n+p-|-2=3 +1 +2=6 A doit donc être calculé avec 8 décimales et B avec 6 décimales.

■ ' ‘ A=v^3ÔÔ= 17,32050807,

Pour effectuer la multiplication de À par B , il faut placer B au-dessous de A , de manière que le chiffre des unités de B se trouve au-dessous du chiffre des dix-miUièmes de A , et que les décimales de B soient à gauche du chiffre de scs unités, comme on le voit ci-dessous :

En conséquence, x = v^300 X >1 = 54,414 à moins de 0,001.

Explication do calcul. Pmnr former le produit partiel du

SUR LES àPF&OXlHATlOiNS.

multiplicande par le premier chilTre 3 du multiplicateur, on multiplie les deux chiffres à droite de 5 correspondant à 3 ; le produit est 24, et comme il n’y a pas de centaines, on a :

i=0, r = 24,o'=3 et r+o' = 24-f-3=27< 100.

11 n’y a donc rien à ajouter à »=iO; par conséquent, on multiplie par 3 tout le multiplicande à partir du chiffre 6 , et l’on écrit le produit partiel au-dessous du otuffie 3 ; on passe en- ' ' suite à l’autre chiffre du multi|dicateur; on multiplie par ce > ' ' chiffre 1 , en commençant la multiplication par le nombre 50 à .droite du chiffre 0 correspondant à 1 , et l’on trouve 50 pour produit; donc 5=0, r-}-a' = 51 -<100; par conséquent on n’a pas de retenue à ajouter au produit 0 x 1 des deux chiffres correspondants; on opère de môme pour tous les autres produits ^ . partiels qui expriment tous des dix-inillièraes; on fait leur somme; on efface le chiffre 7 et l’on augmente de 1 le chiffre 3.

DiTlsiOO.

Soient A ef B deux quantiléi dont on sait calculer les valeurs avec un degré quelconque d'e^proximation; on demande avec combien de décimales il suffit de les calculer pour obtenir le quotient de la division de À par B à moins de ' '

Solution. Désignons par A' et B' les valeurs approchées de A et B ; par Q le quotient de A divisé par B ; par Q' celui de la division de A' par B'. On devra , d’après l’énoncé , avoir l’inégalité :

(y — Û<ïJj;, d’où Q'XIO* — QX10”<1.

Ces deux inégalités montrent que si l’on savait trouver la valeur de QXIO*, à moins d’une unité, il suffirait de la diviser

, par 10^, pour avoir celle de Q à moins de ; par conséquent,

si J’on fait le produit A x 10", et qu’on divise ce produit par B, le quotient approché à moins d’une unité, sera la valeur de

NOTE

Q X 10", à moins d’une unilé, puisque — g — =Q X 10".

Si l'on divise ensuite par 10" le résultat de cette division , on

aura la valeur de Q à moins de En conséquence , la que»-

lion te trouve ramenée au cas particulier où l’on demande le quotient approché à moin» d’une unité. <

Cola posé, soient toujours A' et B' les valeurs approchées de A , et B; désignons par « et p les différences A — A' et B — B'; par

^ le degré cherché d’approximation avec lequel on “doit

calculer A et B, et nous pourrons écrire : ; ' ”

Dans l’égalité A=BQ, substituons à A et B leurs valeurs cidessus, et nous aurons :

”a'-|-» = (B'+P)Û=B’Q-1-QP.

Transposant b, et divisant par B', l’égalité devient *

Mais , d’après l’énoncé, on doit avoir : '

-et par suite,

fcL*<l.

Telle est l’inégalité à laquelle la valeur de l’inconnue x doit satisfaire. Pour la résoudre , il faut mettre x en évidence dans cette inégalité, ou dans l’inégalité équivalente

Qp-«<B'.

JJigitized by Googl

Sl’H LES APPROXIMATIONS.

A cct effet, multiplions les deux membres par 10*, et il viendra: Qp X 10* — a X 10* <B' X 10*.

Posons pour abréger

PX10* = P' et «X10* = »',

et nous aurons :

[4] Qp' — «'<B'X10*;

on a, d'ailleurs, p'<l et a'<l, puisque *<j^ct 8 donnent «X10*=a'<l et pxlO*=p'<l. Pour résoudre l’inégalité [4], il suffit évidemment de résoudre la suivante :

[5] Op'<B'X10*.

Si l'on avait Q<10*, on aurait, à fortiori,

et les inégalités [5] et [6] subsisteraient simultanément si l'on avait B'>1, puisque, dans ce cas, on aurait :

Qp'<10*<B'x 10*.

auquel cas l’inégalité [5] se trouverait vérifiée; on voit par là que les conditions suffisantes pour que l'inégalité [5] soit vérifiée, sont les suivantes Q<10* elB'>l. Celte dernière condition peut être remplacée par B> 1, puisque l’on a B' <B.

Si, dans l’inégalité Ü<10', on remplace Q par g, elle

deviendra:

5 <10*, d’où A<BX10*.

résolution de l’inégalité [5], et, par suite, celle de l’inégalité [3], se trouve ainsi ramenée à la résolution du système: